ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 10.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что окружность \((x — 5)^2 + (y — 5)^2 = 9\) и прямая \(x + y = 7\) пересекаются, и найдите координаты их точек пересечения.

Окружность \((x — 5)^2 + (y — 5)^2 = 9\) имеет центр в точке \((5, 5)\) и радиус \(3\). Прямая \(x + y = 7\) может быть переписана как \(y = 7 — x\). Подставляя это уравнение в уравнение окружности, получаем \(2x^2 — 14x + 20 = 0\), что приводит к корням \(x_1 = 5\) и \(x_2 = 2\). Соответствующие значения \(y\) равны \(y_1 = 2\) и \(y_2 = 5\). Таким образом, точки пересечения окружности и прямой: \((5, 2)\) и \((2, 5)\).

Окружность задана уравнением \((x — 5)^2 + (y — 5)^2 = 9\). Это уравнение описывает окружность с центром в точке \((5, 5)\) и радиусом \(r = 3\), так как \(9 = 3^2\). Прямая задана уравнением \(x + y = 7\), которое можно переписать в виде \(y = 7 — x\).

Для нахождения точек пересечения окружности и прямой подставим выражение для \(y\) в уравнение окружности. Получаем:

\((x — 5)^2 + ((7 — x) — 5)^2 = 9\).

Упростим вторую часть:

\((7 — x — 5) = (2 — x)\).

Теперь подставим это в уравнение окружности:

\((x — 5)^2 + (2 — x)^2 = 9\).

Раскроем скобки:

\((x — 5)^2 = x^2 — 10x + 25\) и \((2 — x)^2 = 4 — 4x + x^2\).

Сложим эти выражения:

\(x^2 — 10x + 25 + 4 — 4x + x^2 = 9\).

Соберем все члены в одно уравнение:

\(2x^2 — 14x + 29 = 9\).

Переносим \(9\) на левую сторону:

\(2x^2 — 14x + 20 = 0\).

Упрощаем, разделив на \(2\):

\(x^2 — 7x + 10 = 0\).

Находим дискриминант:

\(D = b^2 — 4ac = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9\).

Так как дискриминант положительный, у уравнения два различных корня:

\(x_1 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5\) и \(x_2 = \frac{7 — \sqrt{9}}{2} = \frac{7 — 3}{2} = 2\).

Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\):

Для \(x_1 = 5\):

\(y_1 = 7 — 5 = 2\).

Для \(x_2 = 2\):

\(y_2 = 7 — 2 = 5\).

Таким образом, точки пересечения окружности и прямой: \((5, 2)\) и \((2, 5)\).