ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 10.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что прямая \(x + y = 5\) является касательной к окружности \((x — 3)^2 + (y + 2)^2 = 8\), и найдите координаты точки касания.

Прямая \(x + y = 5\) является касательной к окружности \((x — 3)^2 + (y + 2)^2 = 8\), так как расстояние от центра окружности \(C(3, -2)\) до прямой равно радиусу окружности. Расстояние вычисляется по формуле \(d = \frac{|1 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) — 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = 2\sqrt{2}\), что совпадает с радиусом \(r = 2\sqrt{2}\). Чтобы найти точку касания, подставим \(y = 5 — x\) в уравнение окружности: \((x — 3)^2 + (5 — x + 2)^2 = 8\), что приводит к квадратному уравнению \(2x^2 — 20x + 50 = 0\) с корнем \(x = 5\). Таким образом, точка касания имеет координаты \((5, 0)\).)\).

Чтобы доказать, что прямая \(x + y = 5\) является касательной к окружности \((x — 3)^2 + (y + 2)^2 = 8\), начнем с определения параметров окружности. Центр окружности находится в точке \(C(3, -2)\), а радиус равен \(r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).

Теперь найдем расстояние от центра окружности до прямой. Уравнение прямой можно записать в общем виде как \(1 \cdot x + 1 \cdot y — 5 = 0\). Расстояние \(d\) от точки \(C(3, -2)\) до прямой вычисляется по формуле:

\[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

где \(A = 1\), \(B = 1\), \(C = -5\), \(x_0 = 3\), \(y_0 = -2\). Подставляем значения в формулу:

\[
d = \frac{|1 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) — 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|3 — 2 — 5|}{\sqrt{2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}
\]

Мы обнаружили, что расстояние \(d = 2\sqrt{2}\) совпадает с радиусом окружности \(r = 2\sqrt{2}\). Это подтверждает, что прямая действительно является касательной к окружности.

Теперь найдем координаты точки касания. Для этого подставим \(y = 5 — x\) в уравнение окружности. Уравнение окружности имеет вид:

\[
(x — 3)^2 + (y + 2)^2 = 8
\]

Подставляя \(y = 5 — x\), преобразуем уравнение:

\[
(x — 3)^2 + ((5 — x) + 2)^2 = 8
\]

Упрощаем выражение:

\[
(x — 3)^2 + (7 — x)^2 = 8
\]

Раскроем скобки:

\[
(x — 3)^2 = x^2 — 6x + 9
\]
\[
(7 — x)^2 = 49 — 14x + x^2
\]

Теперь сложим эти два выражения:

\[
x^2 — 6x + 9 + 49 — 14x + x^2 = 8
\]

Соберем подобные члены:

\[
2x^2 — 20x + 58 = 8
\]

Упрощаем уравнение, вычитая 8:

\[
2x^2 — 20x + 50 = 0
\]

Разделим на 2 для упрощения:

\[
x^2 — 10x + 25 = 0
\]

Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы корней:

\[
(x — 5)^2 = 0
\]

Таким образом, \(x = 5\). Теперь найдем значение \(y\):

\[
y = 5 — x = 5 — 5 = 0
\]

Координаты точки касания, следовательно, равны \((5, 0)\).