ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 10.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что окружность \((x — 4)^2 + (y — 2)^2 = 1\) и прямая \(3x + y = 3\) не имеют общих точек.

Чтобы доказать, что окружность \((x — 4)^2 + (y — 2)^2 = 1\) и прямая \(3x + y = 3\) не имеют общих точек, подставим уравнение прямой \(y = 3 — 3x\) в уравнение окружности. Получим \( (x — 4)^2 + (1 — 3x)^2 = 1 \), что приводит к уравнению \(10x^2 — 14x + 15 = 0\). Вычислив дискриминант \(D = (-14)^2 — 4 \cdot 10 \cdot 15 = -404\), видим, что он меньше нуля, что указывает на отсутствие действительных корней. Следовательно, прямая и окружность не пересекаются.

Чтобы доказать, что окружность \((x — 4)^2 + (y — 2)^2 = 1\) и прямая \(3x + y = 3\) не имеют общих точек, начнем с подстановки уравнения прямой в уравнение окружности. Сначала выразим \(y\) через \(x\) из уравнения прямой: \(y = 3 — 3x\). Затем подставим это значение в уравнение окружности:

\((x — 4)^2 + (y — 2)^2 = 1\) становится \((x — 4)^2 + ((3 — 3x) — 2)^2 = 1\). Упростим вторую часть: \((3 — 3x) — 2 = 1 — 3x\). Таким образом, уравнение окружности трансформируется в:

\((x — 4)^2 + (1 — 3x)^2 = 1\).

Теперь раскроем скобки. Сначала для \((x — 4)^2\) получаем:

\((x — 4)^2 = x^2 — 8x + 16\).

Теперь для \((1 — 3x)^2\):

\((1 — 3x)^2 = 1 — 6x + 9x^2\).

Соберем всё вместе:

\(x^2 — 8x + 16 + 1 — 6x + 9x^2 = 1\).

Сложим все подобные члены:

\(10x^2 — 14x + 17 = 1\).

Теперь приведем уравнение к стандартному виду:

\(10x^2 — 14x + 16 = 0\).

Теперь найдем дискриминант \(D\) этого квадратного уравнения. Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 10\), \(b = -14\), \(c = 16\). Подставим значения:

\(D = (-14)^2 — 4 \cdot 10 \cdot 16 = 196 — 640 = -444\).

Поскольку дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), это означает, что уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, прямая не пересекает окружность, и, следовательно, у них нет общих точек.