ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 10.19 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите длину хорды окружности \((x + 1)^2 + (y — 2)^2 = 25\), лежа- щей на прямой \(y = 3x\).

Длина хорды окружности \((x + 1)^2 + (y — 2)^2 = 25\), лежащей на прямой \(y = 3x\), определяется через пересечение прямой и окружности. Подставив \(y = 3x\) в уравнение окружности и решив квадратное уравнение \(10x^2 — 10x — 20 = 0\), получаем корни \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -1\). Соответствующие значения \(y\) равны \(y_1 = 6\) и \(y_2 = -3\). Таким образом, точки пересечения \(A(2, 6)\) и \(B(-1, -3)\). Длина хорды вычисляется по формуле расстояния: \(d = \sqrt{((-1) — 2)^2 + ((-3) — 6)^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}\).

Длина хорды окружности \((x + 1)^2 + (y — 2)^2 = 25\), лежащей на прямой \(y = 3x\), может быть найдена следующим образом. Сначала определим параметры окружности: центр находится в точке \((-1, 2)\), а радиус равен 5, так как \(25 = 5^2\). Подставим уравнение прямой в уравнение окружности. Заменяем \(y\) на \(3x\) в уравнении окружности:

\((x + 1)^2 + (3x — 2)^2 = 25\).

Теперь раскроем скобки: \((x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\) и \((3x — 2)^2 = 9x^2 — 12x + 4\). Подставив эти выражения, получаем:

\(x^2 + 2x + 1 + 9x^2 — 12x + 4 = 25\).

Упрощаем это уравнение: \(10x^2 — 10x + 5 = 25\). Переносим 25 влево: \(10x^2 — 10x — 20 = 0\). Делим все члены на 10, чтобы упростить уравнение: \(x^2 — x — 2 = 0\). Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\(D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\).

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня, которые вычисляем по формуле:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = 2\) и \(x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 — 3}{2} = -1\). Теперь находим соответствующие значения \(y\) для этих корней, подставляя их в уравнение прямой \(y = 3x\):

Для \(x_1 = 2\) получаем \(y_1 = 3 \cdot 2 = 6\), а для \(x_2 = -1\) получаем \(y_2 = 3 \cdot (-1) = -3\). Таким образом, точки пересечения хорды с окружностью имеют координаты \(A(2, 6)\) и \(B(-1, -3)\). Теперь мы можем вычислить длину хорды, используя формулу для расстояния между двумя точками:

\(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\). Подставляем координаты точек \(A\) и \(B\):

\(d = \sqrt{((-1) — 2)^2 + ((-3) — 6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-9)^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90}\). Упрощаем это выражение:

\(d = \sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}\). Таким образом, длина хорды окружности, лежащей на прямой \(y = 3x\), составляет \(3\sqrt{10}\).