ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 10.20 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки А (1; — 7) и В (-3; 5).

Уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки \( A(1, -7) \) и \( B(-3, 5) \), можно получить, найдя середину отрезка \( AB \), которая равна \( M(-1, -1) \), и наклон перпендикуляра к этому отрезку, равный \( \frac{1}{3} \). Уравнение прямой, проходящей через точку \( M \) с таким наклоном, имеет вид \( y + 1 = \frac{1}{3}(x + 1) \), что в упрощенном виде даёт \( x — 3y — 2 = 0 \). Таким образом, искомое уравнение — \( x — 3y — 2 = 0 \).

Уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки \( A(1, -7) \) и \( B(-3, 5) \), можно найти следующим образом. Сначала определим координаты середины отрезка \( AB \). Середина \( M \) вычисляется по формуле \( M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \). Подставляя значения, получаем:

\( M\left(\frac{1 — 3}{2}, \frac{-7 + 5}{2}\right) = M\left(-1, -1\right) \).

Теперь найдем наклон отрезка \( AB \). Наклон \( k_{AB} \) рассчитывается по формуле \( k_{AB} = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} \). Подставляя координаты точек, получаем:

\( k_{AB} = \frac{5 — (-7)}{-3 — 1} = \frac{12}{-4} = -3 \).

Чтобы найти наклон перпендикуляра к отрезку \( AB \), используем формулу \( k_{\perp} = \frac{-1}{k_{AB}} \):

\( k_{\perp} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \).

Теперь составим уравнение прямой, проходящей через точку \( M(-1, -1) \) с наклоном \( k_{\perp} = \frac{1}{3} \). Уравнение прямой в общем виде выглядит так: \( y — y_0 = k(x — x_0) \). Подставив значения, получаем:

\( y + 1 = \frac{1}{3}(x + 1) \).

Упростим это уравнение:

\( 3(y + 1) = x + 1 \)

или

\( 3y + 3 = x + 1 \).

Переносим все в одну сторону:

\( x — 3y — 2 = 0 \).

Таким образом, уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки \( A(1, -7) \) и \( B(-3, 5) \), имеет вид:

\( x — 3y — 2 = 0 \).