ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 10.21 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки С (2; 3) и D (-5; — 2).

Чтобы найти уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки \(C(2, 3)\) и \(D(-5, -2)\), сначала определим середину отрезка \(CD\), которая равна \(M\left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)\). Угловой коэффициент отрезка \(CD\) составляет \(\frac{5}{7}\), поэтому угловой коэффициент перпендикулярной биссектрисы равен \(-\frac{7}{5}\). Составив уравнение прямой, проходящей через точку \(M\) с этим угловым коэффициентом, получаем: \(y — \frac{1}{2} = -\frac{7}{5}\left(x + \frac{3}{2}\right)\). Приведя это уравнение к стандартному виду, находим, что уравнение геометрического места центров окружностей равно \(7x + 5y + 8 = 0\).

Чтобы найти уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки \(C(2, 3)\) и \(D(-5, -2)\), начнем с определения середины отрезка \(CD\). Середина отрезка вычисляется по формуле:

\[
M\left(\frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2}\right) = M\left(\frac{2 + (-5)}{2}, \frac{3 + (-2)}{2}\right) = M\left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)
\]

Теперь найдем угловой коэффициент отрезка \(CD\). Угловой коэффициент \(k\) вычисляется как разность координат \(y\) деленная на разность координат \(x\):

\[
k = \frac{y_D — y_C}{x_D — x_C} = \frac{-2 — 3}{-5 — 2} = \frac{-5}{-7} = \frac{5}{7}
\]

Так как нам нужно уравнение перпендикулярной биссектрисы, найдем угловой коэффициент этой прямой. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен отрицательному обратному значению углового коэффициента отрезка \(CD\):

\[
k_{\perp} = -\frac{1}{k} = -\frac{1}{\frac{5}{7}} = -\frac{7}{5}
\]

Теперь, зная координаты точки \(M\) и угловой коэффициент \(k_{\perp}\), можем составить уравнение прямой, проходящей через точку \(M\). Уравнение прямой в общем виде записывается как:

\[
y — y_0 = k_{\perp}(x — x_0)
\]

Подставляем значения \(M\left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)\):

\[
y — \frac{1}{2} = -\frac{7}{5}\left(x + \frac{3}{2}\right)
\]

Теперь умножим обе стороны на 5 для устранения дробей:

\[
5\left(y — \frac{1}{2}\right) = -7\left(x + \frac{3}{2}\right)
\]

Это дает:

\[
5y — \frac{5}{2} = -7x — \frac{21}{2}
\]

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

\[
7x + 5y + \frac{5}{2} — \frac{21}{2} = 0
\]

Собираем подобные члены:

\[
7x + 5y — \frac{16}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 7x + 5y — 8 = 0
\]

Таким образом, уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки \(C(2, 3)\) и \(D(-5, -2)\), имеет вид:

\[
7x + 5y + 8 = 0
\]