ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 10.22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Составьте уравнение окружности, проходящей через точки А (2; 0) и В (4; 0), центр которой принадлежит прямой \(2x + 3y = 18\).

Уравнение окружности, проходящей через точки \(A(2, 0)\) и \(B(4, 0)\), и имеющей центр на прямой \(2x + 3y = 18\), можно найти следующим образом. Сначала находим середину отрезка \(AB\), которая равна \(M(3, 0)\). Пусть центр окружности \(C(x_0, y_0)\) принадлежит прямой, тогда \(y_0 = \frac{18 — 2x_0}{3}\). Вычисляем радиус \(R\) как расстояние от \(C\) до \(A\): \(R^2 = (x_0 — 2)^2 + y_0^2\). Подставляя \(y_0\) в это уравнение и решая, получаем \(C(3, 4)\) и \(R^2 = 17\). Таким образом, уравнение окружности имеет вид \((x — 3)^2 + (y — 4)^2 = 17\).

Уравнение окружности, проходящей через точки \(A(2, 0)\) и \(B(4, 0)\), и имеющей центр на прямой \(2x + 3y = 18\), можно найти следующим образом.

Сначала определим координаты центра окружности \(C(x_0, y_0)\). Поскольку центр принадлежит прямой, можно выразить \(y_0\) через \(x_0\): \(y_0 = \frac{18 — 2x_0}{3}\).

Теперь найдем радиус окружности \(R\). Радиус равен расстоянию от центра \(C\) до точки \(A\) или \(B\). Выберем точку \(A(2, 0)\). Тогда радиус можно выразить как:

\(R^2 = (x_0 — 2)^2 + (y_0 — 0)^2\).

Подставим \(y_0\) в это уравнение:

\(R^2 = (x_0 — 2)^2 + \left(\frac{18 — 2x_0}{3}\right)^2\).

Раскроем скобки:

\(R^2 = (x_0 — 2)^2 + \frac{(18 — 2x_0)^2}{9}\).

Теперь выразим \(R^2\) через \(x_0\):

\(R^2 = (x_0^2 — 4x_0 + 4) + \frac{(324 — 72x_0 + 4x_0^2)}{9}\).

Умножим всё на 9, чтобы избавиться от дроби:

\(9R^2 = 9(x_0^2 — 4x_0 + 4) + (324 — 72x_0 + 4x_0^2)\).

Соберем все члены:

\(9R^2 = 9x_0^2 — 36x_0 + 36 + 324 — 72x_0 + 4x_0^2\).

Преобразуем:

\(9R^2 = 13x_0^2 — 108x_0 + 360\).

Теперь найдем радиус \(R\) для точки \(B(4, 0)\):

\(R^2 = (x_0 — 4)^2 + (y_0 — 0)^2\).

Также подставим \(y_0\):

\(R^2 = (x_0 — 4)^2 + \left(\frac{18 — 2x_0}{3}\right)^2\).

Раскроем скобки:

\(R^2 = (x_0 — 4)^2 + \frac{(18 — 2x_0)^2}{9}\).

Аналогично:

\(R^2 = (x_0^2 — 8x_0 + 16) + \frac{(324 — 72x_0 + 4x_0^2)}{9}\).

Умножим на 9:

\(9R^2 = 9(x_0^2 — 8x_0 + 16) + (324 — 72x_0 + 4x_0^2)\).

Соберем члены:

\(9R^2 = 9x_0^2 — 72x_0 + 144 + 324 — 72x_0 + 4x_0^2\).

Преобразуем:

\(9R^2 = 13x_0^2 — 144x_0 + 468\).

Теперь у нас есть два выражения для \(R^2\):

\(9R^2 = 13x_0^2 — 108x_0 + 360\) и \(9R^2 = 13x_0^2 — 144x_0 + 468\).

Приравняем их:

\(13x_0^2 — 108x_0 + 360 = 13x_0^2 — 144x_0 + 468\).

Сократим \(13x_0^2\):

\(-108x_0 + 360 = -144x_0 + 468\).

Переносим все на одну сторону:

\(36x_0 = 108\).

Отсюда:

\(x_0 = 3\).

Теперь найдем \(y_0\):

\(y_0 = \frac{18 — 2 \cdot 3}{3} = \frac{12}{3} = 4\).

Таким образом, центр окружности \(C(3, 4)\). Теперь найдем радиус:

\(R^2 = (3 — 2)^2 + (4 — 0)^2 = 1 + 16 = 17\).

Уравнение окружности:

\((x — 3)^2 + (y — 4)^2 = 17\).