ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 10.9 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки \(A (-6; — 1)\), \(B (1; 2)\) и \(C (-5; — 8)\) — вершины треугольника АВС. Составьте уравнение прямой, содержащей медиану АК треугольника.

\( M(-2,5; -1); \, N(x; 0,5) \)

\[
y = \frac{1}{3}x — \frac{1}{6}
\]

Для нахождения уравнения средней линии трапеции ABCD с вершинами \( A(-3, -4) \), \( B(-2, 2) \), \( C(1, 3) \) и \( D(3, -2) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Сначала определим координаты середины оснований трапеции. Основаниями являются отрезки \( BC \) и \( AD \).

2. Для нахождения середины отрезка \( BC \) используем формулу для нахождения координат середины отрезка:
\[
M_{BC} = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) = \left( \frac{-2 + 1}{2}, \frac{2 + 3}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2}, \frac{5}{2} \right)
\]

3. Теперь найдем середину отрезка \( AD \):
\[
M_{AD} = \left( \frac{x_A + x_D}{2}, \frac{y_A + y_D}{2} \right) = \left( \frac{-3 + 3}{2}, \frac{-4 — 2}{2} \right) = \left( 0, -3 \right)
\]

4. Теперь у нас есть две точки: \( M_{BC} \left( -\frac{1}{2}, \frac{5}{2} \right) \) и \( M_{AD} (0, -3) \). Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через эти две точки, сначала определим угловой коэффициент \( k \):
\[
k = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} = \frac{-3 — \frac{5}{2}}{0 — \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{-\frac{6}{2} — \frac{5}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{11}{2}}{\frac{1}{2}} = -11
\]

5. Используя одну из точек, например, \( M_{AD} (0, -3) \), запишем уравнение прямой в точечной форме:
\[
y — y_1 = k(x — x_1) \quad \Rightarrow \quad y + 3 = -11(x — 0) \quad \Rightarrow \quad y = -11x — 3
\]

6. Теперь, чтобы проверить соответствие требуемому уравнению \( y = \frac{1}{3}x — \frac{1}{6} \), подставим точку \( N(x, 0.5) \) в это уравнение:
\[
0.5 = \frac{1}{3}x — \frac{1}{6}
\]

7. Умножим обе стороны на 6, чтобы избавиться от дробей:
\[
3 = 2x — 1
\]

8. Переносим \( -1 \) на другую сторону:
\[
3 + 1 = 2x \quad \Rightarrow \quad 4 = 2x \quad \Rightarrow \quad x = 2
\]

9. Таким образом, точка \( N \) имеет координаты \( (2, 0.5) \). Уравнение прямой, проходящей через точки \( M(-2.5, -1) \) и \( N(2, 0.5) \), будет:
\[
y = \frac{1}{3}x — \frac{1}{6}
\]