ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 11.11 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М (2; — 1) и перпендикулярной прямой: 1) \(у = — 0,2x — 3;\) 2) \(3x — 6y = 2.\)

Для нахождения уравнений прямых, проходящих через точку \(M(2; -1)\) и перпендикулярных данным прямым, сначала определим угловые коэффициенты. Для прямой \(y = -0.2x — 3\) угловой коэффициент равен \(-0.2\), следовательно, перпендикулярная прямая будет иметь угловой коэффициент \(5\). Подставляя точку \(M\), получаем уравнение \(y = 5x — 11\). Для прямой \(3x — 6y = 2\) приводим к виду \(y = \frac{1}{2}x — \frac{1}{3}\), откуда угловой коэффициент равен \(\frac{1}{2}\), и перпендикулярная прямая имеет угловой коэффициент \(-2\). Подставляя точку \(M\), получаем уравнение \(y = -2x + 3\). Таким образом, искомые уравнения: \(y = 5x — 11\) и \(y = -2x + 3\).

Для нахождения уравнений прямых, проходящих через точку \(M(2; -1)\) и перпендикулярных заданным прямым, начнем с анализа первой прямой \(y = -0.2x — 3\). Угловой коэффициент этой прямой равен \(-0.2\). Прямая, перпендикулярная данной, будет иметь угловой коэффициент, который определяется по формуле \(k_2 = -\frac{1}{k_1}\). Подставляя \(k_1 = -0.2\), получаем \(k_2 = -\frac{1}{-0.2} = 5\). Теперь мы можем использовать точку \(M(2; -1)\) для составления уравнения новой прямой. Уравнение прямой в точечной форме записывается как \(y — y_1 = k(x — x_1)\), где \((x_1, y_1)\) — координаты точки, а \(k\) — угловой коэффициент. Подставляем \(M(2; -1)\) и \(k_2 = 5\):

\(y — (-1) = 5(x — 2)\)

Упрощаем это уравнение:

\(y + 1 = 5x — 10\)

\(y = 5x — 11\)

Таким образом, уравнение прямой, перпендикулярной к \(y = -0.2x — 3\), равно \(y = 5x — 11\).

Теперь рассмотрим вторую прямую \(3x — 6y = 2\). Для удобства преобразуем это уравнение в стандартный вид \(y = kx + b\). Начнем с того, что выразим \(y\):

\(-6y = -3x + 2\)

Делим обе стороны на \(-6\):

\(y = \frac{1}{2}x — \frac{1}{3}\)

Теперь определим угловой коэффициент этой прямой, который равен \(\frac{1}{2}\). Следовательно, угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет \(k_2 = -\frac{1}{k_1} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2\). Используя точку \(M(2; -1)\) и новый угловой коэффициент, запишем уравнение:

\(y — (-1) = -2(x — 2)\)

Упрощаем его:

\(y + 1 = -2x + 4\)

\(y = -2x + 3\)

Таким образом, уравнение прямой, перпендикулярной к \(3x — 6y = 2\), равно \(y = -2x + 3\).

В итоге, искомые уравнения: \(y = 5x — 11\) и \(y = -2x + 3\).