ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 11.12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А (-3; — 1) и перпендикулярной прямой: 1) \(у = — x + \frac{1}{2};\) 2) \(2x + y = — 3.\)
Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку \(A(-3, -1)\) и перпендикулярной прямой \(y = -x + \frac{1}{2}\), определяем угловой коэффициент данной прямой, который равен \(-1\). Угловой коэффициент искомой прямой будет \(1\). Подставляя координаты точки \(A\) в уравнение \(y = x + b\), находим \(b = 2\), получая уравнение \(y = x + 2\). Для прямой \(2x + y = -3\) угловой коэффициент равен \(-2\), следовательно, искомый будет \(\frac{1}{2}\). Подставляя точку \(A\) в уравнение \(y = \frac{1}{2}x + b\), находим \(b = \frac{1}{2}\), что даёт уравнение \(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\). Таким образом, уравнения прямых: \(y = x + 2\) и \(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\).
Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку \(A(-3, -1)\) и перпендикулярной прямой \(y = -x + \frac{1}{2}\), сначала определим угловой коэффициент данной прямой. Угловой коэффициент можно взять из уравнения в форме \(y = kx + b\), где \(k\) — угловой коэффициент. В данном случае, уравнение имеет вид \(y = -1x + \frac{1}{2}\), следовательно, угловой коэффициент равен \(k_1 = -1\). Прямая, перпендикулярная данной, будет иметь угловой коэффициент \(k_2\), равный обратному и противоположному значению \(k_1\), то есть \(k_2 = -\frac{1}{k_1} = -\frac{1}{-1} = 1\).
Теперь мы можем записать уравнение искомой прямой в виде \(y = k_2 x + b\), где \(b\) — свободный член, который мы найдем, подставив координаты точки \(A(-3, -1)\). Подставляем \(x = -3\) и \(y = -1\) в уравнение:
\(-1 = 1 \cdot (-3) + b\).
Решим это уравнение:
\(-1 = -3 + b\)
\(-1 + 3 = b\)
\(b = 2\).
Таким образом, уравнение первой прямой будет:
\(y = x + 2\).
Теперь рассмотрим вторую прямую \(2x + y = -3\). Для того чтобы найти угловой коэффициент этой прямой, перепишем её в форме \(y = kx + b\).
Из уравнения \(2x + y = -3\) выразим \(y\):
\(y = -2x — 3\).
Теперь мы видим, что угловой коэффициент этой прямой равен \(k_3 = -2\). Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой, перпендикулярной этой прямой, будет равен \(k_4 = -\frac{1}{k_3} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}\).
Теперь запишем уравнение второй искомой прямой в виде \(y = k_4 x + b\) и подставим координаты точки \(A(-3, -1)\):
\(-1 = \frac{1}{2} \cdot (-3) + b\).
Решим это уравнение:
\(-1 = -\frac{3}{2} + b\)
\(-1 + \frac{3}{2} = b\)
\(-\frac{2}{2} + \frac{3}{2} = b\)
\(b = \frac{1}{2}\).
Таким образом, уравнение второй прямой будет:
\(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\).
Итак, уравнения прямых, проходящих через точку \(A(-3, -1)\) и перпендикулярных данным прямым, следующие: \(y = x + 2\) и \(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\).