ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 11.13 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку А (2; 6) и образует с положительным направлением оси абсцисс угол: 1) \(60°;\) 2) \(120°.\)

Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через точку \(A(2; 6)\) и образующей угол \(60°\) с положительным направлением оси абсцисс, используем тангенс угла: \(\tan(60°) = \sqrt{3}\). Уравнение будет \(y — 6 = \sqrt{3}(x — 2)\), что упрощается до \(y = \sqrt{3}x + 6 — 2\sqrt{3}\). Для угла \(120°\) тангенс равен \(-\sqrt{3}\), и уравнение примет вид \(y — 6 = -\sqrt{3}(x — 2)\), что упрощается до \(y = -\sqrt{3}x + 6 + 2\sqrt{3}\). Таким образом, уравнения прямых: для \(60°\) — \(y = \sqrt{3}x + 6 — 2\sqrt{3}\), для \(120°\) — \(y = -\sqrt{3}x + 6 + 2\sqrt{3}\).

Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через точку \(A(2; 6)\) и образующей угол \(60°\) с положительным направлением оси абсцисс, начнем с определения углового коэффициента. Угловой коэффициент \(m\) связан с углом наклона прямой и вычисляется через тангенс угла: \(m = \tan(60°)\). Значение тангенса для данного угла равно \(\sqrt{3}\).

Теперь мы можем использовать уравнение прямой в точечной форме, которое выглядит следующим образом: \(y — y_0 = m(x — x_0)\), где \((x_0, y_0)\) — координаты точки, через которую проходит прямая. Подставим наши значения: \(x_0 = 2\), \(y_0 = 6\) и \(m = \sqrt{3}\). Это дает нам уравнение:

\(y — 6 = \sqrt{3}(x — 2)\).

Теперь раскроем скобки:

\(y — 6 = \sqrt{3}x — 2\sqrt{3}\).

Переносим все члены на одну сторону, чтобы выразить \(y\):

\(y = \sqrt{3}x + 6 — 2\sqrt{3}\).

Таким образом, уравнение прямой, образующей угол \(60°\) с положительным направлением оси абсцисс, будет:

\(y = \sqrt{3}x + 6 — 2\sqrt{3}\).

Теперь рассмотрим случай, когда угол наклона прямой равен \(120°\). В этом случае тангенс угла также можно вычислить: \(m = \tan(120°)\). Значение тангенса для \(120°\) равно \(-\sqrt{3}\).

Используя ту же формулу для уравнения прямой, мы подставляем \(m = -\sqrt{3}\), \(x_0 = 2\) и \(y_0 = 6\):

\(y — 6 = -\sqrt{3}(x — 2)\).

Раскроем скобки:

\(y — 6 = -\sqrt{3}x + 2\sqrt{3}\).

Теперь выразим \(y\):

\(y = -\sqrt{3}x + 6 + 2\sqrt{3}\).

Таким образом, уравнение прямой, образующей угол \(120°\) с положительным направлением оси абсцисс, будет:

\(y = -\sqrt{3}x + 6 + 2\sqrt{3}\).