ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 11.19 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите координаты точек пересечения прямой АВ с осями координат, если:

1) \(A (1; 1), B (2; 3);\)

2) \(A (3; — 1), B (-2; 2).\)

Для точек \(A(1; 1)\) и \(B(2; 3)\) уравнение прямой имеет вид \(y = 2x — 1\). Пересечение с осью \(y\) происходит в точке \((0; -1)\), а с осью \(x\) — в точке \(\left(\frac{1}{2}; 0\right)\). Для точек \(A(3; -1)\) и \(B(-2; 2)\) уравнение прямой записывается как \(y = -\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}\). Пересечение с осью \(y\) происходит в \(\left(0; \frac{4}{5}\right)\), а с осью \(x\) — в \(\left(\frac{4}{3}; 0\right)\).

Для точек \(A(1; 1)\) и \(B(2; 3)\) сначала находим угловой коэффициент \(k\) прямой, используя формулу \(k = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}\). Подставляем значения: \(k = \frac{3 — 1}{2 — 1} = \frac{2}{1} = 2\). Теперь, чтобы найти свободный член \(b\), подставим координаты точки \(A(1; 1)\) в уравнение \(y = kx + b\): \(1 = 2 \cdot 1 + b\), откуда \(b = 1 — 2 = -1\). Таким образом, уравнение прямой имеет вид \(y = 2x — 1\).

Теперь находим точки пересечения с осями координат. Пересечение с осью \(y\) происходит, когда \(x = 0\): \(y = 2 \cdot 0 — 1 = -1\), следовательно, точка пересечения с осью \(y\) — это \((0; -1)\). Пересечение с осью \(x\) происходит, когда \(y = 0\): \(0 = 2x — 1\), отсюда \(2x = 1\), и, следовательно, \(x = \frac{1}{2}\). Таким образом, точка пересечения с осью \(x\) — это \(\left(\frac{1}{2}; 0\right)\).

Теперь рассмотрим точки \(A(3; -1)\) и \(B(-2; 2)\). Сначала находим угловой коэффициент \(k\): \(k = \frac{2 — (-1)}{-2 — 3} = \frac{2 + 1}{-5} = \frac{3}{-5} = -\frac{3}{5}\). Далее, чтобы найти \(b\), подставим координаты точки \(A(3; -1)\): \(-1 = -\frac{3}{5} \cdot 3 + b\). Это дает \(-1 = -\frac{9}{5} + b\), откуда \(b = -1 + \frac{9}{5} = \frac{4}{5}\). Таким образом, уравнение прямой имеет вид \(y = -\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}\).

Теперь находим точки пересечения с осями координат. Пересечение с осью \(y\) происходит, когда \(x = 0\): \(y = -\frac{3}{5} \cdot 0 + \frac{4}{5} = \frac{4}{5}\), следовательно, точка пересечения с осью \(y\) — это \(\left(0; \frac{4}{5}\right)\). Пересечение с осью \(x\) происходит, когда \(y = 0\): \(0 = -\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}\), отсюда \(\frac{3}{5}x = \frac{4}{5}\), и, следовательно, \(x = \frac{4}{3}\). Таким образом, точка пересечения с осью \(x\) — это \(\left(\frac{4}{3}; 0\right)\).