ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 11.20 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите расстояние от точки М (-1; 2) до прямой:

1) \(3x — 4y = 2;\) 2) \(-5x + 12y = 1.\)

Расстояние от точки \( M(-1, 2) \) до прямой \( 3x — 4y = 2 \) можно найти по формуле \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \). Преобразуем уравнение в вид \( 3x — 4y — 2 = 0 \) (где \( A = 3, B = -4, C = -2 \)). Подставив координаты точки, получаем \( d = \frac{|3(-1) — 4(2) — 2|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{13}{5} = 2.6 \). Для прямой \(-5x + 12y = 1\) преобразуем уравнение в вид \(-5x + 12y — 1 = 0\) (где \( A = -5, B = 12, C = -1 \)). Подставив координаты точки, получаем \( d = \frac{|-5(-1) + 12(2) — 1|}{\sqrt{(-5)^2 + 12^2}} = \frac{28}{13} \approx 2.15 \). Таким образом, расстояния составляют \( 2.6 \) и \( \frac{28}{13} \approx 2.15 \) соответственно.

Расстояние от точки \( M(-1, 2) \) до прямой \( 3x — 4y = 2 \) можно найти с помощью формулы расстояния от точки до прямой, которая имеет вид \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \). Сначала преобразуем уравнение прямой в стандартный вид. Уравнение \( 3x — 4y = 2 \) можно записать как \( 3x — 4y — 2 = 0 \), где \( A = 3 \), \( B = -4 \), \( C = -2 \). Теперь подставим координаты точки \( M(-1, 2) \) в формулу. Мы имеем \( x_0 = -1 \) и \( y_0 = 2 \). Подставляя эти значения, получаем:

\[
d = \frac{|3(-1) + (-4)(2) — 2|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}.
\]

Теперь вычислим числитель: \( 3(-1) = -3 \), \( -4(2) = -8 \), следовательно, \( -3 — 8 — 2 = -13 \). Теперь подставим это значение в формулу:

\[
d = \frac{|-13|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{13}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{13}{\sqrt{25}} = \frac{13}{5} = 2.6.
\]

Таким образом, расстояние от точки \( M(-1, 2) \) до прямой \( 3x — 4y = 2 \) равно \( 2.6 \).

Теперь найдем расстояние от точки \( M(-1, 2) \) до второй прямой \(-5x + 12y = 1\). Сначала преобразуем уравнение этой прямой в стандартный вид: \(-5x + 12y — 1 = 0\), где \( A = -5 \), \( B = 12 \), \( C = -1 \). Подставим координаты точки \( M(-1, 2) \) в формулу расстояния:

\[
d = \frac{|-5(-1) + 12(2) — 1|}{\sqrt{(-5)^2 + 12^2}}.
\]

Вычислим числитель: \( -5(-1) = 5 \), \( 12(2) = 24 \), следовательно, \( 5 + 24 — 1 = 28 \). Теперь подставим это значение в формулу:

\[
d = \frac{|28|}{\sqrt{(-5)^2 + 12^2}} = \frac{28}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{28}{\sqrt{169}} = \frac{28}{13}.
\]

Таким образом, расстояние от точки \( M(-1, 2) \) до прямой \(-5x + 12y = 1\) равно \( \frac{28}{13} \approx 2.15 \).