ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 11.21 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите расстояние от точки пересечения прямых AB и CD до прямой \(6x — 8y = — 1,\) если \(A (1; — 1), В (2; 1), C (3; 1), D (-4; 2).\)

Сначала находим уравнения прямых \(AB\) и \(CD\). Прямая \(AB\) имеет уравнение \(y = 2x — 3\), а прямая \(CD\) — \(y = -\frac{1}{7}x + \frac{10}{7}\). Решая систему уравнений, находим точку пересечения \(P\left(\frac{31}{15}, \frac{17}{15}\right)\). Теперь вычисляем расстояние от этой точки до прямой \(6x — 8y + 1 = 0\) по формуле \(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\), где \(A = 6\), \(B = -8\), \(C = 1\). Подставляя значения, получаем \(d = \frac{|6 \cdot \frac{31}{15} — 8 \cdot \frac{17}{15} + 1|}{\sqrt{100}} = \frac{|\frac{186}{15} — \frac{136}{15} + 1|}{10} = \frac{|\frac{51}{15} + 1|}{10} = \frac{|\frac{66}{15}|}{10} = \frac{66}{150} = \frac{11}{25}\). Таким образом, расстояние от точки пересечения до прямой равно \(\frac{11}{25}\).

Сначала найдем уравнение прямой \(AB\), используя координаты точек \(A(1, -1)\) и \(B(2, 1)\). Угловой коэффициент \(k_{AB}\) вычисляется по формуле:

\(k_{AB} = \frac{y_B — y_A}{x_B — x_A} = \frac{1 — (-1)}{2 — 1} = \frac{2}{1} = 2.\)

Теперь запишем уравнение прямой в точечной форме:

\(y — y_A = k_{AB}(x — x_A) \Rightarrow y + 1 = 2(x — 1) \Rightarrow y = 2x — 3.\)

Теперь найдем уравнение прямой \(CD\), используя координаты точек \(C(3, 1)\) и \(D(-4, 2)\). Угловой коэффициент \(k_{CD}\) вычисляется так:

\(k_{CD} = \frac{y_D — y_C}{x_D — x_C} = \frac{2 — 1}{-4 — 3} = \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7}.\)

Запишем уравнение прямой \(CD\) в точечной форме:

\(y — y_C = k_{CD}(x — x_C) \Rightarrow y — 1 = -\frac{1}{7}(x — 3) \Rightarrow y = -\frac{1}{7}x + \frac{3}{7} +\)
\(+ 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{7}x + \frac{10}{7}.\)

Теперь найдём точку пересечения прямых \(AB\) и \(CD\), решая систему уравнений:

\(\begin{cases} y = 2x — 3 \\ y = -\frac{1}{7}x + \frac{10}{7} \end{cases}\)

Приравняем правые части:

\(2x — 3 = -\frac{1}{7}x + \frac{10}{7}.\)

Умножим всё на 7, чтобы избавиться от дробей:

\(14x — 21 = -x + 10.\)

Переносим все \(x\) в одну сторону:

\(14x + x = 10 + 21 \Rightarrow 15x = 31 \Rightarrow x = \frac{31}{15}.\)

Теперь подставим найденное значение \(x\) в уравнение \(y = 2x — 3\):

\(y = 2 \cdot \frac{31}{15} — 3 = \frac{62}{15} — \frac{45}{15} = \frac{17}{15}.\)

Таким образом, точка пересечения \(P\) имеет координаты \(P\left(\frac{31}{15}, \frac{17}{15}\right)\).

Теперь найдём расстояние от точки \(P\) до прямой \(6x — 8y + 1 = 0\). Для этого используем формулу расстояния от точки \((x_0, y_0)\) до прямой \(Ax + By + C = 0\):

\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.\)

В нашем случае \(A = 6\), \(B = -8\), \(C = 1\), \(x_0 = \frac{31}{15}\), \(y_0 = \frac{17}{15}\). Подставим значения в формулу:

\(d = \frac{|6 \cdot \frac{31}{15} — 8 \cdot \frac{17}{15} + 1|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}}.\)

Теперь вычислим числитель:

\(6 \cdot \frac{31}{15} = \frac{186}{15}, \quad 8 \cdot \frac{17}{15} = \frac{136}{15}.\)

Таким образом, числитель равен:

\(\frac{186}{15} — \frac{136}{15} + 1 = \frac{186 — 136 + 15}{15} = \frac{65}{15}.\)

Теперь вычислим знаменатель:

\(\sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.\)

Теперь можем подставить числитель и знаменатель в формулу расстояния:

\(d = \frac{\left|\frac{65}{15}\right|}{10} = \frac{65}{150} = \frac{13}{30}.\)

Таким образом, расстояние от точки пересечения до прямой равно \(\frac{13}{30}.\)