ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 11.22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Составьте уравнение прямой, проходящей через центры двух данных окружностей:
1) \(x^2 + y^2 — 4x + 2y + 4 = 0\) и \(x^2 + y^2 — 10x — 6y = 2;\)
2) \(x^2 + y^2 + 2x + 2y = 2\) и \(x^2 + y^2 — 6x — 4y = 3.\)
Для первой пары окружностей \(x^2 + y^2 — 4x + 2y + 4 = 0\) и \(x^2 + y^2 — 10x — 6y = 2\) центры находятся в точках \(C_1(2, -1)\) и \(C_2(5, 3)\). Уравнение прямой, проходящей через эти точки, имеет вид \(4x — 3y = 11\). Для второй пары окружностей \(x^2 + y^2 + 2x + 2y = 2\) и \(x^2 + y^2 — 6x — 4y = 3\) центры находятся в точках \(C_1(-1, -1)\) и \(C_2(3, 2)\). Уравнение прямой, проходящей через эти центры, имеет вид \(3x — 4y = 1\).
Для первой пары окружностей \(x^2 + y^2 — 4x + 2y + 4 = 0\) и \(x^2 + y^2 — 10x — 6y = 2\) сначала преобразуем уравнение первой окружности. Мы можем сгруппировать и завершить квадрат:
\((x^2 — 4x) + (y^2 + 2y) = -4\).
Завершаем квадрат для \(x\) и \(y\):
\((x — 2)^2 — 4 + (y + 1)^2 — 1 = -4\).
Это приводит к
\((x — 2)^2 + (y + 1)^2 = 1\).
Таким образом, центр первой окружности \(C_1\) находится в точке \((2, -1)\).
Теперь рассмотрим вторую окружность. Преобразуем уравнение \(x^2 + y^2 — 10x — 6y = 2\):
\((x^2 — 10x) + (y^2 — 6y) = 2\).
Завершаем квадрат:
\((x — 5)^2 — 25 + (y — 3)^2 — 9 = 2\).
Это приводит к
\((x — 5)^2 + (y — 3)^2 = 36\).
Центр второй окружности \(C_2\) находится в точке \((5, 3)\).
Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через центры \(C_1(2, -1)\) и \(C_2(5, 3)\). Сначала вычислим наклон \(m\):
\(m = \frac{3 — (-1)}{5 — 2} = \frac{4}{3}\).
Теперь подставим в уравнение прямой в точке \(C_1\):
\(y — (-1) = \frac{4}{3}(x — 2)\).
Упрощаем:
\(y + 1 = \frac{4}{3}x — \frac{8}{3}\),
\(y = \frac{4}{3}x — \frac{11}{3}\).
Умножим на 3, чтобы избавиться от дробей:
\(3y = 4x — 11\),
или в стандартной форме:
\(4x — 3y = 11\).
Для второй пары окружностей \(x^2 + y^2 + 2x + 2y = 2\) и \(x^2 + y^2 — 6x — 4y = 3\) начнем с первой окружности. Преобразуем уравнение:
\((x^2 + 2x) + (y^2 + 2y) = 2\).
Завершим квадрат:
\((x + 1)^2 — 1 + (y + 1)^2 — 1 = 2\),
что приводит к
\((x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 4\).
Центр первой окружности \(C_1\) находится в точке \((-1, -1)\).
Теперь рассмотрим вторую окружность:
\((x^2 — 6x) + (y^2 — 4y) = 3\).
Завершаем квадрат:
\((x — 3)^2 — 9 + (y — 2)^2 — 4 = 3\),
что приводит к
\((x — 3)^2 + (y — 2)^2 = 16\).
Центр второй окружности \(C_2\) находится в точке \((3, 2)\).
Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через центры \(C_1(-1, -1)\) и \(C_2(3, 2)\). Вычислим наклон \(m\):
\(m = \frac{2 — (-1)}{3 — (-1)} = \frac{3}{4}\).
Теперь подставим в уравнение прямой в точке \(C_1\):
\(y — (-1) = \frac{3}{4}(x — (-1))\).
Упрощаем:
\(y + 1 = \frac{3}{4}(x + 1)\),
\(y + 1 = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}\),
\(y = \frac{3}{4}x — \frac{1}{4}\).
Умножим на 4:
\(4y = 3x — 1\),
или в стандартной форме:
\(3x — 4y = 1\).
Ответ: 1) \(4x — 3y = 11\), 2) \(3x — 4y = 1\).
