ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 11.25 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Составьте уравнение прямой, которая перпендикулярна прямой \(y = 2x + 3\) и пересекает прямую \(-x + 3y = — 6\) в точке, принадлежащей оси абсцисс.

Уравнение прямой, перпендикулярной к прямой \(y = 2x + 3\) (угловой коэффициент -2), будет иметь угловой коэффициент \(-\frac{1}{2}\). Чтобы найти свободный член, определим, где эта прямая пересекает ось абсцисс, подставив \(y = 0\): \(0 = -\frac{1}{2}x + b\), откуда \(b = \frac{1}{2}x\). Прямая \(-x + 3y = -6\) преобразуется в \(y = \frac{1}{3}x — 2\). Подставляем \(y = 0\) в это уравнение: \(-x = -6\) дает \(x = 6\). Подставив \(x = 6\) в уравнение перпендикулярной прямой, получаем \(b = 3\). Таким образом, искомое уравнение прямой: \(y = -\frac{1}{2}x + 3\).

Уравнение прямой, перпендикулярной к прямой \(y = 2x + 3\), имеет угловой коэффициент \(-\frac{1}{2}\), так как угловой коэффициент данной прямой равен 2, и для перпендикулярной прямой он равен обратному значению с противоположным знаком. Обозначим уравнение перпендикулярной прямой как \(y = -\frac{1}{2}x + b\), где \(b\) — свободный член, который нужно определить.

Следующим шагом найдем точку пересечения этой перпендикулярной прямой с осью абсцисс, где \(y = 0\). Подставляя это значение в уравнение, получаем \(0 = -\frac{1}{2}x + b\), что позволяет выразить \(b\) как \(b = \frac{1}{2}x\).

Теперь необходимо найти точку пересечения перпендикулярной прямой с прямой \(-x + 3y = -6\). Преобразуем это уравнение к более удобному виду, выразив \(y\): \(3y = x — 6\) или \(y = \frac{1}{3}x — 2\).

Теперь мы можем найти точку пересечения двух прямых. Подставляем уравнение перпендикулярной прямой в уравнение прямой \(-x + 3y = -6\): \(-\frac{1}{2}x + b = \frac{1}{3}x — 2\). Подставляем \(b = \frac{1}{2}x\) в это уравнение, получая \(-\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x = \frac{1}{3}x — 2\). Это уравнение не имеет смысла, так как левая часть равна нулю. Это указывает на то, что мы не можем использовать \(b\) в таком виде. Вместо этого найдем значение \(x\) из уравнения \(-x + 3y = -6\) при \(y = 0\): \(-x = -6\) дает \(x = 6\).

Теперь подставим \(x = 6\) в уравнение перпендикулярной прямой, чтобы найти \(b\): \(b = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\). Таким образом, уравнение искомой прямой будет \(y = -\frac{1}{2}x + 3\).