ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 11.26 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Составьте уравнение прямой, которая перпендикулярна прямой \(2x + y = 1\) и пересекает прямую \(x — 4y = — 1\) в точке, принадлежащей оси ординат.

Чтобы найти уравнение прямой, перпендикулярной прямой \(2x + y = 1\) и пересекающей прямую \(x — 4y = -1\) на оси ординат, сначала определим наклон перпендикулярной прямой, который равен \(\frac{1}{2}\). Уравнение такой прямой можно записать как \(y = \frac{1}{2}x + b\). Подставляя \(x = 0\) для нахождения точки на оси ординат, получаем \(y = b\). Далее, подставим это уравнение в \(x — 4y = -1\) и решим: \(x — 4\left(\frac{1}{2}x + b\right) = -1\), что приводит к \(x + 4b = 1\). Подставив \(x = 1 — 4b\) в уравнение прямой, получаем \(y = \frac{1}{2} — b\). Установив \(y = 0\), находим \(b = \frac{1}{2}\). Таким образом, уравнение прямой: \(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\) или в стандартной форме \(x — 2y + 1 = 0\).

Чтобы найти уравнение прямой, перпендикулярной прямой \(2x + y = 1\) и пересекающей прямую \(x — 4y = -1\) на оси ординат, начнем с нахождения углового коэффициента исходной прямой. Приведем уравнение \(2x + y = 1\) к угловой форме:

\(y = -2x + 1\).

Таким образом, угловой коэффициент этой прямой равен \(-2\). Для перпендикулярной прямой угловой коэффициент будет равен обратному значению и с противоположным знаком, то есть

\(m_{\perp} = \frac{1}{2}\).

Теперь запишем уравнение перпендикулярной прямой в общем виде:

\(y = \frac{1}{2}x + b\),

где \(b\) — это свободный член, который мы определим позже.

Следующим шагом найдем точку пересечения этой прямой с осью ординат. Точка, принадлежащая оси ординат, имеет координаты \((0, y)\). Подставляя \(x = 0\) в уравнение перпендикулярной прямой, получаем:

\(y = \frac{1}{2}(0) + b = b\).

Теперь необходимо найти точку пересечения перпендикулярной прямой с прямой \(x — 4y = -1\). Подставим уравнение перпендикулярной прямой в уравнение второй прямой:

\(x — 4\left(\frac{1}{2}x + b\right) = -1\).

Раскроем скобки:

\(x — 2x — 4b = -1\).

Упрощаем это уравнение, получая:

\(-x — 4b = -1\),

или

\(x + 4b = 1\).

Теперь выразим \(x\):

\(x = 1 — 4b\).

Подставим это значение \(x\) обратно в уравнение перпендикулярной прямой:

\(y = \frac{1}{2}(1 — 4b) + b\).

Раскроем скобки и упростим:

\(y = \frac{1}{2} — 2b + b = \frac{1}{2} — b\).

Теперь, чтобы найти \(b\), подставим \(y = 0\) (так как точка пересечения должна находиться на оси ординат):

\(0 = \frac{1}{2} — b\).

Отсюда находим:

\(b = \frac{1}{2}\).

Теперь подставим значение \(b\) обратно в уравнение перпендикулярной прямой:

\(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\).

Чтобы привести это уравнение к стандартной форме, умножим все на 2:

\(2y = x + 1\),

что можно записать как

\(x — 2y + 1 = 0\).

Таким образом, уравнение искомой прямой:

\(x — 2y + 1 = 0\).