ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 11.27 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Даны точки \(A (-1; 5)\) и \(B (8; 2)\). Найдите уравнение прямой, которая перпендикулярна прямой АВ и пересекает отрезок АВ в точке М такой, что \(АМ : МВ = 2 : 1.\)

Для нахождения уравнения прямой, перпендикулярной отрезку \(AB\) с координатами \(A(-1, 5)\) и \(B(8, 2)\), и пересекающей его в точке \(M\) с отношением \(AM:MB = 2:1\), сначала находим координаты точки \(M\), используя формулу деления отрезка: \(M(5, 3)\). Угловой коэффициент прямой \(AB\) равен \(k_{AB} = -\frac{1}{3}\), следовательно, угловой коэффициент перпендикулярной прямой \(k_{\perp} = 3\). Уравнение прямой, проходящей через точку \(M\) с угловым коэффициентом \(3\), записывается как \(y — 3 = 3(x — 5)\), что после преобразования приводит к уравнению \(3x — y — 12 = 0\).

Для нахождения уравнения прямой, перпендикулярной отрезку \(AB\) с координатами \(A(-1, 5)\) и \(B(8, 2)\), начнем с нахождения точки \(M\), которая делит отрезок \(AB\) в отношении \(AM : MB = 2 : 1\). Используем формулу деления отрезка в заданном отношении:

\(
M\left(\frac{x_1 + k \cdot x_2}{1 + k}, \frac{y_1 + k \cdot y_2}{1 + k}\right)
\)

где \(A (x_1, y_1) = (-1, 5)\), \(B (x_2, y_2) = (8, 2)\), и \(k = 2\). Подставляя значения, получаем:

\(
M\left(\frac{-1 + 2 \cdot 8}{1 + 2}, \frac{5 + 2 \cdot 2}{1 + 2}\right) = M\left(\frac{-1 + 16}{3}, \frac{5 + 4}{3}\right) = M\left(\frac{15}{3}, \frac{9}{3}\right) = M(5, 3)
\)

Теперь найдем угловой коэффициент прямой \(AB\). Угловой коэффициент \(k_{AB}\) вычисляется по формуле:

\(
k_{AB} = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} = \frac{2 — 5}{8 — (-1)} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}
\)

Зная угловой коэффициент прямой \(AB\), можем найти угловой коэффициент перпендикулярной прямой \(k_{\perp}\):

\(
k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-\frac{1}{3}} = 3
\)

Теперь, зная координаты точки \(M(5, 3)\) и угловой коэффициент перпендикулярной прямой \(k_{\perp} = 3\), можем записать уравнение этой прямой в точечной форме:

\(
y — y_0 = k(x — x_0)
\)

Подставляя значения, получаем:

\(
y — 3 = 3(x — 5)
\)

Раскроем скобки:

\(
y — 3 = 3x — 15
\)

Переносим все на одну сторону уравнения:

\(
3x — y — 12 = 0
\)

Таким образом, уравнение искомой прямой, перпендикулярной отрезку \(AB\) и проходящей через точку \(M\), записывается в виде:

\(
3x — y — 12 = 0
\)