ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 11.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Запишите уравнение прямых, содержащих высоты треугольника АВС, если \(A (1; 3), B (5; — 7), C (-1; 9).\)
Чтобы найти уравнения высот треугольника ABC с вершинами \(A(1, 3)\), \(B(5, -7)\) и \(C(-1, 9)\), вычислим угловые коэффициенты сторон: для AB он равен \(-\frac{5}{2}\), для BC — \(-\frac{8}{3}\), а для CA — \(-3\). Высота из точки A, перпендикулярная стороне BC, имеет угловой коэффициент \(\frac{3}{8}\) и уравнение \(8y — 3x = 21\). Высота из точки B, перпендикулярная стороне CA, имеет угловой коэффициент \(\frac{1}{3}\) и уравнение \(3y — x = -26\). Высота из точки C, перпендикулярная стороне AB, имеет угловой коэффициент \(\frac{2}{5}\) и уравнение \(5y — 2x = 47\). Таким образом, уравнения высот треугольника: \(8y — 3x = 21\), \(3y — x = -26\), \(5y — 2x = 47\).
Чтобы найти уравнения высот треугольника ABC с вершинами \(A(1, 3)\), \(B(5, -7)\) и \(C(-1, 9)\), начнем с вычисления угловых коэффициентов сторон треугольника.
Для стороны AB, координаты точек A и B равны \(A(1, 3)\) и \(B(5, -7)\). Угловой коэффициент \(k_{AB}\) вычисляется по формуле:
\(k_{AB} = \frac{y_B — y_A}{x_B — x_A} = \frac{-7 — 3}{5 — 1} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}\).
Теперь запишем уравнение прямой AB в точечной форме:
\(y — y_A = k_{AB}(x — x_A)\).
Подставляя значения, получаем:
\(y — 3 = -\frac{5}{2}(x — 1)\).
Преобразуем это уравнение:
\(y — 3 = -\frac{5}{2}x + \frac{5}{2}\),
что приводит к:
\(y = -\frac{5}{2}x + \frac{5}{2} + 3\).
Далее, чтобы привести уравнение к общему виду, умножим на 2:
\(2y = -5x + 5 + 6\),
что упрощается до:
\(5x + 2y = 21\).
Теперь перейдем к стороне BC, где координаты точек B и C равны \(B(5, -7)\) и \(C(-1, 9)\). Угловой коэффициент \(k_{BC}\) вычисляется так:
\(k_{BC} = \frac{y_C — y_B}{x_C — x_B} = \frac{9 — (-7)}{-1 — 5} = \frac{16}{-6} = -\frac{8}{3}\).
Уравнение прямой BC будет:
\(y — y_B = k_{BC}(x — x_B)\),
что дает:
\(y + 7 = -\frac{8}{3}(x — 5)\).
Преобразуем уравнение:
\(y + 7 = -\frac{8}{3}x + \frac{40}{3}\),
что приводит к:
\(y = -\frac{8}{3}x + \frac{40}{3} — 7\).
Умножив все на 3, получим:
\(3y + 21 = -8x + 40\),
что упрощается до:
\(8x + 3y = -21\).
Теперь найдем уравнение стороны CA, где координаты точек C и A равны \(C(-1, 9)\) и \(A(1, 3)\). Угловой коэффициент \(k_{CA}\):
\(k_{CA} = \frac{y_A — y_C}{x_A — x_C} = \frac{3 — 9}{1 — (-1)} = \frac{-6}{2} = -3\).
Уравнение прямой CA будет:
\(y — y_C = k_{CA}(x — x_C)\),
что дает:
\(y — 9 = -3(x + 1)\).
Преобразуем уравнение:
\(y — 9 = -3x — 3\),
что приводит к:
\(y = -3x + 6\).
Теперь, чтобы привести уравнение к общему виду, умножим на 3:
\(3y = -9x + 18\),
что упрощается до:
\(3x + y = 6\).
Теперь мы можем найти уравнения высот треугольника. Высота из точки A, перпендикулярная стороне BC, будет иметь угловой коэффициент, обратный угловому коэффициенту стороны BC. Угловой коэффициент высоты \(h_A\):
\(k_{h_A} = \frac{3}{8}\).
Уравнение высоты из точки A:
\(y — 3 = \frac{3}{8}(x — 1)\).
Преобразуем его:
\(y — 3 = \frac{3}{8}x — \frac{3}{8}\),
что приводит к:
\(y = \frac{3}{8}x + \frac{21}{8}\).
Умножив на 8, получаем:
\(8y — 3x = 21\).
Теперь высота из точки B, перпендикулярная стороне CA, будет иметь угловой коэффициент:
\(k_{h_B} = \frac{1}{3}\).
Уравнение высоты из точки B:
\(y + 7 = \frac{1}{3}(x — 5)\).
Преобразуем его:
\(y + 7 = \frac{1}{3}x — \frac{5}{3}\),
что приводит к:
\(y = \frac{1}{3}x — \frac{5}{3} — 7\).
Умножив на 3, получаем:
\(3y + 21 = x — 5\),
что упрощается до:
\(3y — x = -26\).
Теперь высота из точки C, перпендикулярная стороне AB, будет иметь угловой коэффициент:
\(k_{h_C} = \frac{2}{5}\).
Уравнение высоты из точки C:
\(y — 9 = \frac{2}{5}(x + 1)\).
Преобразуем его:
\(y — 9 = \frac{2}{5}x + \frac{2}{5}\),
что приводит к:
\(y = \frac{2}{5}x + \frac{47}{5}\).
Умножив на 5, получаем:
\(5y — 2x = 47\).
Таким образом, уравнения высот треугольника ABC: \(8y — 3x = 21\), \(3y — x = -26\), \(5y — 2x = 47\).
