ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 11.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дан треугольник АВС, где \(A (1; — 2), B (3; 4), C (-1; 2)\). Найдите уравнение прямой, которая проходит через вершину В и перпендикулярна медиане треугольника, проведённой из вершины А.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через вершину \( B(3, 4) \) и перпендикулярной медиане \( AM \) треугольника \( ABC \), сначала найдем середину отрезка \( BC \), которая равна \( M(1, 3) \). Угловой коэффициент медианы \( AM \) равен бесконечности (прямая вертикальна), следовательно, перпендикулярная прямая будет горизонтальной с угловым коэффициентом 0. Поскольку прямая проходит через точку \( B \), уравнение этой прямой будет \( y = 4 \).

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через вершину \( B(3, 4) \) и перпендикулярной медиане \( AM \) треугольника \( ABC \), начнем с определения координат середины отрезка \( BC \). Вершина \( C \) имеет координаты \( (-1, 2) \). Середина отрезка \( BC \) вычисляется по формуле: \( M\left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) = M\left( \frac{3 + (-1)}{2}, \frac{4 + 2}{2} \right) = M\left( \frac{2}{2}, \frac{6}{2} \right) = M(1, 3) \).

Теперь мы имеем координаты точки \( M(1, 3) \), которая является серединой отрезка \( BC \). Далее необходимо найти угловой коэффициент медианы \( AM \), которая соединяет вершину \( A(1, -2) \) и точку \( M(1, 3) \). Угловой коэффициент \( k_{AM} \) определяется как \( k_{AM} = \frac{y_M — y_A}{x_M — x_A} = \frac{3 — (-2)}{1 — 1} = \frac{5}{0} \). Поскольку знаменатель равен нулю, это указывает на то, что прямая \( AM \) вертикальна, и её уравнение можно записать как \( x = 1 \).

Теперь, чтобы найти уравнение прямой, перпендикулярной медиане \( AM \), нужно помнить, что перпендикуляр к вертикальной прямой будет горизонтальной. Угловой коэффициент горизонтальной прямой равен 0, и уравнение такой прямой имеет вид \( y = b \), где \( b \) — это значение \( y \) в точке, через которую проходит прямая. Поскольку прямая должна проходить через точку \( B(3, 4) \), подставляем координаты точки \( B \): \( y = 4 \).

Таким образом, уравнение прямой, которая проходит через вершину \( B \) и перпендикулярна медиане, проведённой из вершины \( A \), будет \( y = 4 \).