ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 11.32 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите уравнение окружности с центром в точке \(M (-2; 1),\) которая касается прямой \(8x — 15y = — 2.\)

Уравнение окружности с центром в точке \(M(-2; 1)\), которая касается прямой \(8x — 15y = -2\), можно найти, вычислив расстояние от точки до прямой, которое равно \(d = \frac{29}{17}\). Это значение будет радиусом окружности. Уравнение окружности записывается как \((x + 2)^2 + (y — 1)^2 = r^2\), где \(r^2 = \left(\frac{29}{17}\right)^2 = \frac{841}{289}\). Таким образом, уравнение окружности имеет вид \((x + 2)^2 + (y — 1)^2 = \frac{841}{289}\).

Уравнение окружности с центром в точке \(M(-2; 1)\) и радиусом, равным расстоянию от этой точки до прямой \(8x — 15y = -2\), можно найти следующим образом. Сначала преобразуем уравнение прямой к стандартному виду: \(8x — 15y + 2 = 0\). Теперь применим формулу для вычисления расстояния \(d\) от точки \((x_0, y_0)\) до прямой \(Ax + By + C = 0\):

\[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

Подставим значения: \(A = 8\), \(B = -15\), \(C = 2\), \(x_0 = -2\), \(y_0 = 1\):

\[
d = \frac{|8(-2) — 15(1) + 2|}{\sqrt{8^2 + (-15)^2}} = \frac{|-16 — 15 + 2|}{\sqrt{64 + 225}} = \frac{|-29|}{\sqrt{289}} = \frac{29}{17}
\]

Таким образом, радиус \(r\) окружности равен \(r = \frac{29}{17}\). Уравнение окружности с центром в точке \((h, k)\) и радиусом \(r\) имеет вид:

\[
(x — h)^2 + (y — k)^2 = r^2
\]

Для нашей окружности, где \(h = -2\) и \(k = 1\), уравнение будет:

\[
(x + 2)^2 + (y — 1)^2 = r^2
\]

Теперь вычислим \(r^2\):

\[
r^2 = \left(\frac{29}{17}\right)^2 = \frac{841}{289}
\]

Таким образом, подставив значение радиуса в уравнение окружности, получаем:

\[
(x + 2)^2 + (y — 1)^2 = \frac{841}{289}
\]

Это и есть искомое уравнение окружности.