ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 11.34 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите уравнение касательной к окружности \(x^2 + (y — 2)^2 = 25,\) если эта касательная проходит через точку \(M (3; — 2).\)

Чтобы найти уравнение касательной к окружности \(x^2 + (y — 2)^2 = 25\), проходящей через точку \(M(3, -2)\), сначала определим центр окружности \(C(0, 2)\) и радиус \(r = 5\). Касательная будет иметь вид \(y + 2 = k(x — 3)\), где \(k\) — угловой коэффициент. Условие касания требует, чтобы расстояние от точки \(M\) до центра окружности равно радиусу. Подставляя значения, получаем систему, решая которую, находим уравнение касательной: \(3x — 4y = 17\).

Чтобы найти уравнение касательной к окружности \(x^2 + (y — 2)^2 = 25\), проходящей через точку \(M(3, -2)\), начнем с определения центра и радиуса окружности. Центр окружности находится в точке \(C(0, 2)\), а радиус равен \(r = 5\), так как \(\sqrt{25} = 5\).

Касательная к окружности в точке касания \(T(x_0, y_0)\) может быть задана уравнением, которое можно записать в виде \((x — x_0)(x_0 — 0) + (y — y_0)(y_0 — 2) = 0\). Однако, чтобы найти конкретное уравнение касательной, нам нужно использовать точку \(M(3, -2)\) и угловой коэффициент касательной.

Угловой коэффициент радиуса, проведенного в точку касания, определяется как \(k_r = \frac{y_0 — 2}{x_0 — 0}\). Угловой коэффициент касательной \(k\) будет равен \(-\frac{1}{k_r} = -\frac{x_0}{y_0 — 2}\). Касательная, проходящая через точку \(M\), имеет вид \(y + 2 = k(x — 3)\).

Согласно условию, расстояние от точки \(M\) до центра окружности должно быть равно радиусу. Это можно записать как \(\sqrt{(3 — 0)^2 + (-2 — 2)^2} = 5\). Подставим значения: \(\sqrt{9 + 16} = 5\). Это условие выполняется, что подтверждает, что точка \(M\) находится на расстоянии, равном радиусу.

Теперь подставим уравнение касательной. Из уравнения окружности \(x_0^2 + (y_0 — 2)^2 = 25\) следует, что \(y_0 = 2 \pm \sqrt{25 — x_0^2}\). Подставляя значение \(y\) из уравнения касательной в уравнение окружности, получаем систему уравнений, которую можно решить для нахождения точек касания.

Решая систему, мы получаем уравнение касательной к окружности. В результате, уравнение касательной, проходящей через точку \(M(3, -2)\), будет записано как \(3x — 4y = 17\).