ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 11.35 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Запишите уравнение окружности, проходящей через точки \(A (5; — 3)\) и \(B (-3; 5),\) центр которой принадлежит прямой \(2x + 3y = 5.\)

Уравнение окружности, проходящей через точки \(A(5; -3)\) и \(B(-3; 5)\), с центром на прямой \(2x + 3y = 5\), можно получить следующим образом: находим середину отрезка \(AB\), которая равна \(C(1, 1)\), и радиус \(R\), равный половине расстояния между \(A\) и \(B\), что составляет \(4\sqrt{2}\). Уравнение окружности с центром в \(C(1, 1)\) и радиусом \(R\) записывается как \((x — 1)^2 + (y — 1)^2 = R^2\), где \(R^2 = 32\). Таким образом, уравнение окружности будет \((x — 1)^2 + (y — 1)^2 = 32\)

Уравнение окружности, проходящей через точки \(A(5; -3)\) и \(B(-3; 5)\), с центром на прямой \(2x + 3y = 5\), можно найти следующим образом. Сначала определим координаты середины отрезка \(AB\). Середина \(M\) вычисляется по формуле:

\(M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = M\left(\frac{5 + (-3)}{2}, \frac{-3 + 5}{2}\right) = M(1, 1)\).

Теперь найдем расстояние между точками \(A\) и \(B\) для вычисления радиуса окружности. Расстояние \(d\) между двумя точками вычисляется по формуле:

\(d = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2} = \sqrt{(-3 — 5)^2 + (5 — (-3))^2} =\)
\(= \sqrt{(-8)^2 + (8)^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}\).

Радиус \(R\) окружности равен половине этого расстояния:

\(R = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\).

Теперь запишем уравнение окружности. Уравнение окружности с центром в точке \(C(1, 1)\) и радиусом \(R\) имеет вид:

\((x — 1)^2 + (y — 1)^2 = R^2\).

Подставляя значение радиуса, получаем:

\(R^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32\).

Таким образом, уравнение окружности будет:

\((x — 1)^2 + (y — 1)^2 = 32\).

Для проверки, принадлежит ли центр окружности прямой \(2x + 3y = 5\), подставим координаты центра \(C(1, 1)\):

\(2(1) + 3(1) = 2 + 3 = 5\).

Центр действительно принадлежит данной прямой, что подтверждает правильность расчётов. В итоге, уравнение окружности, проходящей через точки \(A\) и \(B\), с центром на прямой \(2x + 3y = 5\), записывается как:

\((x — 1)^2 + (y — 1)^2 = 32\).