ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 11.36 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите ГМТ, равноудаленных от прямых \(3x — 4y = — 7\) и \(4x — 3y = 8.\)

Чтобы найти геометрическое место точек, равноудаленных от прямых \(3x — 4y + 7 = 0\) и \(4x — 3y — 8 = 0\), используем уравнения биссектрис. Прямые имеют угловые коэффициенты \(k_1 = \frac{3}{4}\) и \(k_2 = \frac{4}{3}\). Уравнения биссектрис можно записать как \(3x — 4y + 7 = \pm (4x — 3y — 8)\). Решая эти уравнения, получаем \(x + y — 15 = 0\) и \(7x — 7y — 1 = 0\). Таким образом, искомое геометрическое место задается уравнением \((x + y — 15)(7x — 7y — 1) = 0\).

Чтобы найти геометрическое место точек, равноудаленных от прямых \(3x — 4y + 7 = 0\) и \(4x — 3y — 8 = 0\), начнем с определения угловых коэффициентов этих прямых. Угловой коэффициент первой прямой \(k_1\) равен \(\frac{3}{4}\), а второй прямой \(k_2\) равен \(\frac{4}{3}\).

Следующим шагом будет нахождение уравнений биссектрис. Для этого используем формулу, которая связывает координаты и свободные члены прямых: \(\frac{Ax + By + C_1}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \pm \frac{Ax + By + C_2}{\sqrt{A^2 + B^2}}\), где \(C_1\) и \(C_2\) — свободные члены из уравнений. В нашем случае \(C_1 = 7\) для первой прямой и \(C_2 = 8\) для второй. Подставляя значения, получим:

\(\frac{3x — 4y + 7}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \pm \frac{4x — 3y — 8}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}\).

Вычислим длины: \(\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\) и \(\sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\). Таким образом, уравнения биссектрис можно записать как:

\(3x — 4y + 7 = \pm (4x — 3y — 8)\).

Теперь решим два случая. Для первого случая, когда берем знак «плюс»:

\(3x — 4y + 7 = 4x — 3y — 8\).

Переносим все члены на одну сторону:

\(-x + y + 15 = 0\), что эквивалентно \(x + y — 15 = 0\).

Теперь рассмотрим второй случай с «минусом»:

\(3x — 4y + 7 = — (4x — 3y — 8)\).

Раскрываем скобки и упрощаем:

\(3x — 4y + 7 = -4x + 3y + 8\).

Переносим все члены на одну сторону:

\(7x — 7y — 1 = 0\), что можно записать как \(7x — 7y — 1 = 0\).

Таким образом, у нас есть два уравнения биссектрис: \(x + y — 15 = 0\) и \(7x — 7y — 1 = 0\). В итоге, искомое геометрическое место точек, равноудаленных от данных прямых, задается уравнением \((x + y — 15)(7x — 7y — 1) = 0\).