ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 11.38 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Запишите уравнения окружностей радиуса 1, которые касаются прямых \(3x — 4y = 1\) и \(4x — 3y = — 1.\)

Для нахождения уравнений окружностей радиуса 1, касающихся прямых \(3x — 4y = 1\) и \(4x — 3y = -1\), нужно определить центры окружностей, расстояние от которых до каждой прямой равно 1. Решая соответствующие системы уравнений, получаем центры \((4, 4)\), \((-6, -6)\) и \(\left(-\frac{12}{7}, -\frac{2}{7}\right)\). Таким образом, уравнения окружностей будут:

\(
(x — 4)^2 + (y — 4)^2 = 1; \quad (x + 6)^2 + (y + 6)^2 = 1; \quad (x + \frac{12}{7})^2 + (y + \)
\(+\frac{2}{7})^2 = 1.
\)

Для нахождения уравнений окружностей радиуса 1, касающихся прямых \(3x — 4y = 1\) и \(4x — 3y = -1\), начнем с приведения прямых к стандартному виду. Прямая \(3x — 4y = 1\) может быть записана как \(3x — 4y — 1 = 0\), где \(A = 3\), \(B = -4\), \(C = -1\). Прямая \(4x — 3y = -1\) преобразуется в \(4x — 3y + 1 = 0\) с \(A = 4\), \(B = -3\), \(C = 1\).

Расстояние от точки \((h, k)\) до прямой \(Ax + By + C = 0\) вычисляется по формуле \(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\). Для первой прямой расстояние до окружности радиуса 1 будет равно 1, что дает уравнение: \(|3h — 4k — 1| = 5\). Это приводит к двум уравнениям: \(3h — 4k — 1 = 5\) и \(3h — 4k — 1 = -5\). Решая первое, получаем \(3h — 4k = 6\), а решая второе, получаем \(3h — 4k = -4\).

Аналогично, для второй прямой у нас будет \(|4h — 3k + 1| = 5\), что приводит к уравнениям \(4h — 3k + 1 = 5\) и \(4h — 3k + 1 = -5\). Из первого уравнения получаем \(4h — 3k = 4\), а из второго \(4h — 3k = -6\).

Теперь решим системы уравнений. Для первой системы \(3h — 4k = 6\) и \(4h — 3k = 4\) умножим первое уравнение на 3 и второе на 4, чтобы упростить систему:

\(9h — 12k = 18\)

\(16h — 12k = 16\)

Вычтем первое уравнение из второго:

\(7h = -2 \Rightarrow h = -\frac{2}{7}\).

Подставим значение \(h\) в одно из уравнений, например, в \(3h — 4k = 6\):

\(3\left(-\frac{2}{7}\right) — 4k = 6 \Rightarrow -\frac{6}{7} — 4k = 6 \Rightarrow -4k = 6 + \frac{6}{7} = \frac{48}{7} \Rightarrow k = -\frac{12}{7}\).

Таким образом, один из центров окружности: \(\left(-\frac{2}{7}, -\frac{12}{7}\right)\).

Теперь рассмотрим вторую систему \(3h — 4k = -4\) и \(4h — 3k = 4\). Аналогично, умножим первое уравнение на 3 и второе на 4:

\(9h — 12k = -12\)

\(16h — 12k = 16\)

Вычтем первое уравнение из второго:

\(7h = 28 \Rightarrow h = 4\).

Подставим \(h = 4\) в \(3h — 4k = -4\):

\(3(4) — 4k = -4 \Rightarrow 12 — 4k = -4 \Rightarrow -4k = -16 \Rightarrow k = 4\).

Таким образом, второй центр окружности: \((4, 4)\).

Теперь решим третью систему \(3h — 4k = 6\) и \(4h — 3k = -6\). Умножим первое на 3 и второе на 4:

\(9h — 12k = 18\)

\(16h — 12k = -24\)

Вычтем первое из второго:

\(7h = -42 \Rightarrow h = -6\).

Подставим \(h = -6\) в \(3h — 4k = 6\):

\(3(-6) — 4k = 6 \Rightarrow -18 — 4k = 6 \Rightarrow -4k = 24 \Rightarrow k = -6\).

Таким образом, третий центр окружности: \((-6, -6)\).

Теперь у нас есть три центра: \((4, 4)\), \((-6, -6)\) и \(\left(-\frac{2}{7}, -\frac{12}{7}\right)\). Уравнения окружностей радиуса 1 будут:

\((x — 4)^2 + (y — 4)^2 = 1\),

\((x + 6)^2 + (y + 6)^2 = 1\),

\(\left(x + \frac{2}{7}\right)^2 + \left(y + \frac{12}{7}\right)^2 = 1\).