ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 11.39 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите уравнения касательных к окружности \(x^2 + y^2 — 2y = 9,\) проходящих через точку \(M (7; 2).\)

Для нахождения уравнений касательных к окружности \(x^2 + y^2 — 2y = 9\) через точку \(M(7, 2)\), сначала преобразуем уравнение окружности в стандартный вид: \((x — 0)^2 + (y — 1)^2 = 10\). Затем, используя формулу касательной, находим, что уравнения касательных имеют вид \(x + 3y = 13\) и \(9x — 13y = 37\). Эти уравнения соответствуют заданным условиям задачи.

Для нахождения уравнений касательных к окружности \(x^2 + y^2 — 2y = 9\), начнем с преобразования уравнения окружности в стандартный вид. Уравнение можно переписать как \(x^2 + (y — 1)^2 = 10\). Это указывает на то, что окружность имеет центр в точке \(C(0, 1)\) и радиус \(R = \sqrt{10}\).

Теперь, чтобы найти уравнения касательных, мы воспользуемся тем, что касательная к окружности в точке \(P(x_0, y_0)\) может быть выражена через угловой коэффициент \(m\) и координаты точки касания. Касательные линии будут касаться окружности в точках \(P_1(x_1, y_1)\) и \(P_2(x_2, y_2)\). Мы знаем, что касательная проходит через точку \(M(7, 2)\).

Для нахождения точек касания, запишем два уравнения. Первое уравнение будет уравнением окружности: \(x_0^2 + (y_0 — 1)^2 = 10\). Второе уравнение будет уравнением для расстояния от точки \(M\) до точки касания: \((x_0 — 7)^2 + (y_0 — 2)^2 = 10\).

Теперь подставим значение радиуса в уравнение касательной. Из первого уравнения можно выразить \(y_0\) как \(y_0 = 1 \pm \sqrt{10 — x_0^2}\). Подставим это значение во второе уравнение. Мы получим уравнение, зависящее только от \(x_0\): \((x_0 — 7)^2 + (1 \pm \sqrt{10 — x_0^2} — 2)^2 = 10\). Упростив это уравнение, мы получим квадратное уравнение, которое можно решить относительно \(x_0\).

Решая полученное уравнение, мы найдем значения \(x_0\) и соответствующие \(y_0\) для точек касания. После нахождения координат точек касания \(P_1\) и \(P_2\), мы можем определить угловые коэффициенты касательных. Угловой коэффициент для касательной, проведенной через точку \(M\), можно выразить как \(m = \frac{y_0 — 2}{x_0 — 7}\). Подставив значения \(x_0\) и \(y_0\) для каждой из точек касания, мы получим два угловых коэффициента \(m_1\) и \(m_2\).

Используя уравнение касательной \(y — y_0 = m(x — x_0)\) и подставив координаты точек касания и соответствующие угловые коэффициенты, мы получим уравнения касательных. После всех вычислений, уравнения касательных к окружности, проходящих через точку \(M(7, 2)\), будут записаны как \(x + 3y = 13\) и \(9x — 13y = 37\).