ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 11.40 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите уравнения общих касательных к окружностям \(x^2 + y^2 = 6x\) и \(x^2 + y^2 = 6y.\)

1. Центр первой окружности: \((3, 0)\), радиус: \(3\).

2. Центр второй окружности: \((0, 3)\), радиус: \(3\).

3. Уравнение касательной записывается как \(y = mx + b\).

4. Условие касания для первой окружности: \(\frac{|3m + b|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 3\).

5. Условие касания для второй окружности: \(\frac{|b — 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 3\).

6. Значение \(m\) для общих касательных: \(m = -1\).

7. Значения \(b\): \(b = 3 + 3\sqrt{2}\) и \(b = 3 — 3\sqrt{2}\).

8. Итоговые уравнения касательных: \(x + y = 3 + 3\sqrt{2}\) и \(x + y = 3 — 3\sqrt{2}\).

Сначала преобразуем уравнения окружностей в стандартный вид. Для первой окружности \(x^2 + y^2 = 6x\) вычтем \(6x\) из обеих сторон: \(x^2 — 6x + y^2 = 0\). Дополним до полного квадрата: \((x — 3)^2 — 9 + y^2 = 0\), то есть \((x — 3)^2 + y^2 = 9\). Это окружность с центром в \((3, 0)\) и радиусом \(3\). Для второй окружности \(x^2 + y^2 = 6y\) вычтем \(6y\): \(x^2 + y^2 — 6y = 0\). Дополним до полного квадрата: \(x^2 + (y — 3)^2 — 9 = 0\), то есть \(x^2 + (y — 3)^2 = 9\). Это окружность с центром в \((0, 3)\) и радиусом \(3\).

Теперь найдем общие касательные. Уравнение прямой запишем как \(y = mx + b\). Для касания к первой окружности расстояние от центра \((3, 0)\) до прямой \(y — mx — b = 0\) должно быть равно радиусу \(3\). Формула расстояния: \(\frac{|m \cdot 3 + b|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 3\), то есть \(|3m + b| = 3\sqrt{m^2 + 1}\). Для второй окружности расстояние от центра \((0, 3)\) до прямой: \(\frac{|-3 + b|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 3\), то есть \(|b — 3| = 3\sqrt{m^2 + 1}\).

Приравняем выражения: \(|3m + b| = |b — 3|\). Рассмотрим случаи. Первый случай: \(3m + b = b — 3\), то есть \(3m = -3\), откуда \(m = -1\). Тогда \(|3(-1) + b| = 3\sqrt{(-1)^2 + 1}\), то есть \(|-3 + b| = 3\sqrt{2}\), значит \(b — 3 = 3\sqrt{2}\) или \(b — 3 = -3\sqrt{2}\), откуда \(b = 3 + 3\sqrt{2}\) или \(b = 3 — 3\sqrt{2}\). Уравнения касательных: \(y = -x + 3 + 3\sqrt{2}\) и \(y = -x + 3 — 3\sqrt{2}\), или \(x + y = 3 + 3\sqrt{2}\) и \(x + y = 3 — 3\sqrt{2}\).

Ответ: уравнения общих касательных \(x + y = 3 + 3\sqrt{2}\) и \(x + y = 3 — 3\sqrt{2}\).