1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Углубленный уровень Учебник 📕 Мерзляк, Поляков — Все Части
Геометрия
9 класс углубленный уровень учебник Мерзляк
9 класс
Тип
Гдз, Решебник.
Авторы
Мерзляк А.Г., Поляков В.М.
Год
2019-2022
Издательство
Вентана-граф
Описание

ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 11.41 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Задача

Точка А лежит на прямой \(3x — 4y = — 34,\) а точка В — на окружности \(x^2 + y^2 — 8x + 2y = 8.\) Найдите наименьшее возможное расстояние между точками А и В.

Краткий ответ:

1. Уравнение прямой: \( 3x — 4y = -34 \)

2. Уравнение окружности в стандартном виде: \( (x — 4)^2 + (y + 1)^2 = 25 \)

3. Центр окружности: \( C(4, -1) \)

4. Радиус окружности: \( r = 5 \)

5. Расстояние от центра окружности до прямой: \( d = \frac{|3 \cdot 4 — 4 \cdot (-1) + (-34)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|12 + 4 — 34|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{18}{5} = 10 \)

6. Наименьшее расстояние между точками A и B: \( d — r = 10 — 5 = 5 \)

7. Ответ: 5

Подробный ответ:

1. Как найти минимальное расстояние между точкой на прямой с уравнением \( 3x — 4y = -34 \) и точкой на окружности с уравнением \( x^2 + y^2 — 8x + 2y = 8 \)?
Для нахождения минимального расстояния между точками на прямой и окружности необходимо сначала привести уравнение окружности к стандартному виду, чтобы определить ее центр и радиус. Уравнение \( x^2 + y^2 — 8x + 2y = 8 \) преобразуем, дополняя до полных квадратов: для \( x \) получаем \( x^2 — 8x = (x — 4)^2 — 16 \), для \( y \) — \( y^2 + 2y = (y + 1)^2 — 1 \). Подставляем: \( (x — 4)^2 — 16 + (y + 1)^2 — 1 = 8 \), что дает \( (x — 4)^2 + (y + 1)^2 — 17 = 8 \), или \( (x — 4)^2 + (y + 1)^2 = 25 \). Таким образом, центр окружности находится в точке \( (4, -1) \), а радиус равен \( 5 \). Далее вычисляем расстояние от центра окружности до прямой \( 3x — 4y + 34 = 0 \) по формуле \( d = \frac{|3 \cdot 4 + (-4) \cdot (-1) + 34|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|12 + 4 + 34|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{50}{5} = 10 \). Поскольку расстояние \( 10 \) больше радиуса \( 5 \), минимальное расстояние между прямой и окружностью равно разности \( 10 — 5 = 5 \). Это расстояние достигается между точкой на прямой, ближайшей к центру, и точкой на окружности в направлении от центра к прямой.

2. Как определить, пересекаются ли прямая и окружность?
Чтобы определить, пересекаются ли прямая \( 3x — 4y = -34 \) и окружность \( (x — 4)^2 + (y + 1)^2 = 25 \), нужно сравнить расстояние от центра окружности до прямой с радиусом окружности. Мы уже вычислили расстояние как \( 10 \), а радиус равен \( 5 \). Если расстояние больше радиуса, как в нашем случае \( 10 > 5 \), то прямая не пересекает окружность, и они не имеют общих точек. Если бы расстояние было равно радиусу, прямая касалась бы окружности в одной точке, а если меньше радиуса, то пересекала бы в двух точках. Альтернативный способ проверки — подставить уравнение прямой в уравнение окружности и решить получившуюся систему: выразим \( y = \frac{3}{4}x + \frac{34}{4} \) из уравнения прямой и подставим в уравнение окружности, но поскольку мы уже знаем расстояние, очевидно, что пересечений нет.

3. Как найти координаты точек, реализующих минимальное расстояние?
Для нахождения точек на прямой и окружности, между которыми достигается минимальное расстояние, сначала определяем точку на прямой, ближайшую к центру окружности \( (4, -1) \). Уравнение перпендикуляра к прямой \( 3x — 4y + 34 = 0 \) через центр имеет вид \( x = 4 + 3t \), \( y = -1 — 4t \), так как нормальный вектор прямой — \( (3, -4) \). Подставляем в уравнение прямой: \( 3(4 + 3t) — 4(-1 — 4t) + 34 = 12 + 9t + 4 + 16t + 34 = 25t + 50 = 0 \), откуда \( t = -2 \). Тогда \( x = 4 + 3(-2) = -2 \), \( y = -1 — 4(-2) = 7 \), то есть точка на прямой — \( (-2, 7) \). Теперь находим точку на окружности, лежащую на линии между центром \( (4, -1) \) и этой точкой. Вектор от центра к точке на прямой: \( (-2 — 4, 7 — (-1)) = (-6, 8) \), его длина \( \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 \). Единичный вектор: \( \left(-\frac{6}{10}, \frac{8}{10}\right) = \left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) \). Точка на окружности на расстоянии радиуса \( 5 \) от центра: \( x = 4 + 5 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = 4 — 3 = 1 \), \( y = -1 + 5 \cdot \frac{4}{5} = -1 + 4 = 3 \). Итак, точка на окружности — \( (1, 3) \). Расстояние между \( (-2, 7) \) и \( (1, 3) \) равно \( \sqrt{(1 — (-2))^2 + (3 — 7)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \), что подтверждает минимальное расстояние.

4. Почему минимальное расстояние равно разности расстояния от центра до прямой и радиуса?
Минимальное расстояние между прямой и окружностью равно разности расстояния от центра окружности до прямой и радиуса, если расстояние больше радиуса, как в нашем случае \( 10 > 5 \). Геометрически это объясняется тем, что ближайшая точка на окружности к прямой лежит на отрезке, соединяющем центр окружности с ближайшей точкой на прямой. Расстояние от центра до прямой составляет \( 10 \), а радиус окружности — \( 5 \), поэтому точка на окружности находится на \( 5 \) единиц ближе к прямой, чем центр, что дает минимальное расстояние \( 10 — 5 = 5 \). Если бы расстояние до прямой было меньше радиуса, минимальное расстояние было бы нулевым, так как прямая пересекала бы окружность. Этот подход основан на свойстве окружности как множества точек, равноудаленных от центра, и на том, что минимальное расстояние достигается вдоль перпендикуляра к прямой.

5. Как проверить правильность вычислений?
Для проверки правильности вычислений можно использовать несколько методов. Во-первых, убедимся, что расстояние от центра окружности \( (4, -1) \) до прямой \( 3x — 4y + 34 = 0 \) рассчитано верно: подставляем в формулу \( d = \frac{|3 \cdot 4 + (-4) \cdot (-1) + 34|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|12 + 4 + 34|}{5} = \frac{50}{5} = 10 \), что совпадает. Во-вторых, проверяем координаты найденных точек: точка \( (-2, 7) \) должна лежать на прямой, подставляем в \( 3x — 4y = 3(-2) — 4(7) = -6 — 28 = -34 \), что верно. Точка \( (1, 3) \) на окружности: \( (1 — 4)^2 + (3 + 1)^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \), что равно радиусу в квадрате. Наконец, расстояние между точками \( (-2, 7) \) и \( (1, 3) \): \( \sqrt{(1 — (-2))^2 + (3 — 7)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \), что совпадает с нашим результатом. Также можно рассмотреть другие точки на прямой и окружности, чтобы убедиться, что расстояние не может быть меньше.



Общая оценка
3.9 / 5
Комментарии
Другие учебники
Другие предметы