ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12.1 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите ГМТ, разность квадратов расстояний от которых до двух данных точек А и В является величиной постоянной.

1. Геометрическое место точек, для которых разность квадратов расстояний до двух данных точек А и В является постоянной, — это прямая, перпендикулярная отрезку АВ.

2. Уравнение можно записать как \( RA^2 — RB^2 = k \), где \( RA \) и \( RB \) — расстояния от точки \( R \) до точек \( A \) и \( B \).

Геометрическое место точек, для которых разность квадратов расстояний до двух заданных точек \( A \) и \( B \) является постоянной величиной, представляет собой прямую линию, перпендикулярную отрезку, соединяющему точки \( A \) и \( B \). Для вывода этого результата рассмотрим произвольную точку \( P(x, y) \) на плоскости. Пусть координаты точки \( A \) равны \( (x_1, y_1) \), а точки \( B \) — \( (x_2, y_2) \). Тогда расстояние от точки \( P \) до точки \( A \) выражается как \( PA = \sqrt{(x — x_1)^2 + (y — y_1)^2} \), а расстояние до точки \( B \) — как \( PB = \sqrt{(x — x_2)^2 + (y — y_2)^2} \). Условие задачи требует, чтобы разность квадратов этих расстояний была постоянной, то есть \( PA^2 — PB^2 = k \), где \( k \) — заданная константа. Раскроем выражения для квадратов расстояний: \( PA^2 = (x — x_1)^2 + (y — y_1)^2 \) и \( PB^2 = (x — x_2)^2 + (y — y_2)^2 \). Подставим их в уравнение: \( (x — x_1)^2 + (y — y_1)^2 — [(x — x_2)^2 + (y — y_2)^2] = k \). Раскроем скобки и упростим выражение: \( (x^2 — 2x x_1 + x_1^2 + y^2 — 2y y_1 + y_1^2) — (x^2 — 2x x_2 + x_2^2 + y^2 — 2y y_2 + y_2^2) = k \). После сокращения одинаковых членов \( x^2 \) и \( y^2 \) получаем: \( -2x x_1 + x_1^2 — 2y y_1 + y_1^2 + 2x x_2 — x_2^2 + 2y y_2 — y_2^2 = k \). Сгруппируем члены с переменными \( x \) и \( y \): \( x(-2x_1 + 2x_2) + y(-2y_1 + 2y_2) + (x_1^2 — x_2^2 + y_1^2 — y_2^2) = k \). Это уравнение можно переписать как \( 2(x_2 — x_1)x + 2(y_2 — y_1)y + (x_1^2 — x_2^2 + y_1^2 — y_2^2) = k \). Данное уравнение является линейным относительно \( x \) и \( y \), что указывает на то, что геометрическое место точек \( P \) — это прямая линия. Более того, коэффициенты при \( x \) и \( y \) равны \( 2(x_2 — x_1) \) и \( 2(y_2 — y_1) \), что соответствует вектору \( (x_2 — x_1, y_2 — y_1) \), направленному вдоль отрезка \( AB \). Следовательно, полученная прямая перпендикулярна отрезку \( AB \), так как уравнение прямой задает направление, ортогональное этому вектору. Таким образом, геометрическое место точек — это прямая, перпендикулярная отрезку \( AB \), проходящая через точку, зависящую от значения константы \( k \).