ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12.10 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дан прямоугольный треугольник АВС (\(ZC = 90^\circ\)). Найдите геометрическое место точек М таких, что \(МА^2 + МВ^2 = 2МС^2\).

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с углом \(C = 90^\circ\) геометрическое место точек \(M\), удовлетворяющее условию \(MA^2 + MB^2 = 2MC^2\), представляет собой прямую, проходящую через середину гипотенузы \(AB\) и перпендикулярную медиане, проведённой из вершины \(C\). Это связано с тем, что указанное уравнение описывает точки, находящиеся на равном расстоянии от вершин \(A\) и \(B\) относительно точки \(C\).

В прямоугольном треугольнике ABC с углом C равным 90 градусов, необходимо найти геометрическое место точек M, которое удовлетворяет уравнению MA² + MB² = 2MC². Это уравнение можно интерпретировать как условие, при котором сумма квадратов расстояний от точки M до вершин A и B равна удвоенному квадрату расстояния от точки M до вершины C. Такое уравнение характерно для геометрических мест, связанных с определёнными симметриями в треугольниках.

Чтобы понять, почему это условие описывает прямую, проходящую через середину гипотенузы AB, рассмотрим свойства медиан и центров масс. Медиана, проведённая из вершины C к середине гипотенузы D, делит треугольник на две равные части. Поскольку точка D является центром отрезка AB, расстояния MA и MB будут равны, когда точка M расположена на этой прямой, что в свою очередь влияет на расстояние до точки C. Условие уравнения указывает, что точка M будет находиться на прямой, перпендикулярной медиане CD, что обеспечивает равновесие в сумме квадратов расстояний.

Таким образом, геометрическое место точек M, удовлетворяющее заданному уравнению, представляет собой прямую, которая проходит через середину гипотенузы AB и перпендикулярна медиане, проведённой из вершины C. Эта прямая будет делить плоскость на две области, где для всех точек M, находящихся на ней, выполняется условие равенства MA² + MB² = 2MC².