ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12.11 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите геометрическое место середин отрезков, соединяющих центры квадратов.

Рассмотрим два квадрата с центрами в точках \( A(x_A, y_A) \) и \( B(x_B, y_B) \). Середина отрезка \( AB \) вычисляется по формуле \( M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \). Если квадраты могут перемещаться по плоскости, то координаты \( (x_A, y_A) \) и \( (x_B, y_B) \) могут принимать любые значения. Например, если центр первого квадрата фиксирован в точке \( A(0, 0) \), то середина будет равна \( M = \left( \frac{0 + x_B}{2}, \frac{0 + y_B}{2} \right) = \left( \frac{x_B}{2}, \frac{y_B}{2} \right) \). Поскольку \( x_B \) и \( y_B \) могут принимать любые значения, середина \( M \) будет описывать все точки вида \( \left( \frac{x}{2}, \frac{y}{2} \right) \), что означает, что геометрическое место середин отрезков, соединяющих центры квадратов, является отрезком без концов.

Для нахождения геометрического места середин отрезков, соединяющих центры квадратов, рассмотрим два квадрата, расположенные на плоскости. Пусть центры этих квадратов обозначаются как точки \( A(x_A, y_A) \) и \( B(x_B, y_B) \).

Сначала определим, как вычисляется середина отрезка \( AB \). Середина \( M \) отрезка находится по формуле:

\( M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \)

Теперь предположим, что квадраты могут перемещаться на плоскости. Это значит, что координаты их центров \( (x_A, y_A) \) и \( (x_B, y_B) \) могут принимать любые значения. Когда один квадрат перемещается, а другой остается на месте, середина \( M \) будет изменяться в зависимости от положения центров.

Рассмотрим случай, когда один квадрат фиксирован, например, его центр находится в точке \( A(0, 0) \), а центр второго квадрата \( B \) может перемещаться по плоскости. В этом случае координаты центра второго квадрата будут \( B(x_B, y_B) \). Середина будет вычисляться как:

\( M = \left( \frac{0 + x_B}{2}, \frac{0 + y_B}{2} \right) = \left( \frac{x_B}{2}, \frac{y_B}{2} \right) \)

Теперь, если центр второго квадрата перемещается по всей плоскости, то координаты \( (x_B, y_B) \) могут принимать любое значение. Это означает, что середина \( M \) будет принимать все возможные значения \( \left( \frac{x}{2}, \frac{y}{2} \right) \) для всех \( (x, y) \) на плоскости.

Таким образом, если рассматривать все возможные положения центров квадратов, геометрическое место середин всех отрезков \( AB \) будет представлять собой все точки, которые можно получить, изменяя \( (x_B, y_B) \). Поскольку \( x_B \) и \( y_B \) могут принимать любые значения, середины \( M \) будут описывать непрерывный набор точек.

Это приводит к выводу, что геометрическое место середин отрезков, соединяющих центры квадратов, является отрезком без концов.