ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12.12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
На отрезке АВ произвольным образом выбирают точку С. В одной полуплоскости от прямой АВ на отрезках АС и СВ как на сторонах строят равносторонние треугольники AMC и CNB. Докажите, что середина отрезка МВ, середина отрезка NA и точка С являются вершинами равностороннего треугольника.
В равностороннем треугольнике все стороны равны, а углы равны \(60^\circ\). Точки \(M\) и \(N\) находятся на фиксированном расстоянии от \(C\), и поскольку \(AC = AM\) и \(BC = CN\), то \(MC = AC = AM\) и \(NC = BC = CN\). Таким образом, \(MC = CN = MN\), что доказывает, что треугольник \(MNC\) является равносторонним, и следовательно, точки \(M\), \(N\) и \(C\) образуют вершины равностороннего треугольника
В равностороннем треугольнике все стороны равны, и углы составляют 60 градусов. Рассмотрим треугольник AMC, построенный на отрезке AC, и треугольник CNB, построенный на отрезке CB. Поскольку M и N являются центрами этих равносторонних треугольников, они находятся на одинаковом расстоянии от точки C, что является важным свойством равносторонних треугольников. Это расстояние равно длине стороны треугольника, а значит, MC равно AM и NC равно CN.
Далее, поскольку AC и BC равны длинам сторон равносторонних треугольников, то можно записать равенства: AC равно AM и BC равно CN. Таким образом, мы можем утверждать, что MC равно AC, что также равно AM, а NC равно BC, что также равно CN. Это приводит к заключению, что расстояния MC и NC равны, так как обе длины определяются одинаковыми величинами, основанными на равенстве сторон равносторонних треугольников.
Теперь рассмотрим расстояние между точками M и N. Поскольку M и N находятся на одинаковом расстоянии от C и C соединяет их, можно утверждать, что MN также равно MC и NC. Таким образом, мы получаем, что все три стороны треугольника MNC равны, что подтверждает, что треугольник MNC является равносторонним. В итоге, точки M, N и C действительно образуют вершины равностороннего треугольника, что и требовалось доказать.
