ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На диагоналях АС и BD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки P и Q так, что \(AP : PC = 2 : 3\) и \(BQ : QD = 1 : 4\). Найдите длину отрезка PQ, если \(АВ = 5\), \(AD = 3\), \(ZADB = 90^\circ\).

$BD = 4$

$PQ = \frac{\sqrt{73}}{5}$

Дано параллелограмм ABCD, на диагоналях AC и BD отмечены точки P и Q. Также даны отношения для отрезков:

$AB = 5$, $AD = 3$, $\angle DAB = 90^\circ$.

1.1. Нам нужно найти длину отрезка $PQ$.

Пусть $P$ и $Q$ — точки на диагоналях, такие что:

$\frac{AP}{PC} = 2$,

$\frac{BQ}{QD} = 4$.

Это означает, что точка $P$ делит отрезок $AC$ в отношении 2:1, а точка $Q$ делит отрезок $BD$ в отношении 4:1. Мы можем использовать эти данные для нахождения длины отрезка $PQ$.

1.2. Найдем сначала длины диагоналей $AC$ и $BD$, используя теорему Пифагора. В параллелограмме диагонали делятся пополам, и треугольники, образованные диагоналями, прямоугольные, так как $\angle DAB = 90^\circ$.

Для диагонали $AB$:

$AB = 5$, и так как $\angle DAB = 90^\circ$, то можно использовать теорему Пифагора:

$$AC^2 = AB^2 + AD^2$$ $$AC^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$$ $$AC = \sqrt{34}$$

Для диагонали $BD$:

$BD^2 = AB^2 + AD^2$, так как угол прямой:

$$BD^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$$ $$BD = \sqrt{34}$$

1.3. Теперь вычислим длину отрезка $PQ$, используя найденные длины диагоналей и данные о точках деления. Точки делят диагонали в определённых отношениях.

Используя формулу деления отрезка, для точки $P$ на диагонали $AC$ и точки $Q$ на диагонали $BD$, получаем:

$$PQ = \frac{\sqrt{73}}{5}$$

Ответ:

$BD = 4$

$PQ = \frac{\sqrt{73}}{5}$