ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Через произвольную точку М меньшей из двух концентрических окружностей, радиусы которых равны \(R\) и \(r\), \(R > r\), про- вели хорду ВС большей окружности и хорду МА меньшей окружности (рис. 12.4). Известно, что \(ВС \parallel МА\). Найдите сумму \(MA^2 + MB^2 + MC^2\).

\( MA^2 + MB^2 + MC^2 = 2(R^2 + r^2) \)

Для решения задачи о концентрических окружностях, радиусы которых равны \(R\) и \(r\) (где \(R > r\)), необходимо рассмотреть свойства этих окружностей и параллельных хорд. Начнем с того, что две окружности имеют общий центр, который обозначим как \(O\). Поскольку точка \(M\) находится на меньшей окружности, её расстояние от центра \(O\) будет равно \(r\). Однако в данной задаче мы обозначим расстояние от центра до точки \(M\) как \(d\), где \(0 < d < r\).

Далее, проведем хорды \(BC\) и \(MA\) так, чтобы они были параллельны. Это означает, что расстояние от центра \(O\) до каждой из этих хорд будет одинаковым. Для нахождения длины отрезков \(MB\) и \(MC\) воспользуемся теоремой Пифагора. Поскольку \(B\) и \(C\) находятся на большей окружности, их расстояние от центра \(O\) равно \(R\). Таким образом, длины отрезков \(MB\) и \(MC\) можно выразить следующим образом: \(MB^2 = R^2 — d^2\) и \(MC^2 = R^2 — d^2\).

Теперь мы можем вычислить сумму квадратов расстояний от точки \(M\) до концов хорд \(A\), \(B\) и \(C\). Для этого найдем \(MA\). Поскольку \(MA\) — это хорда меньшей окружности, её длина будет равна \(MA = r — d\). Теперь подставим все найденные значения в формулу для суммы: \(MA^2 + MB^2 + MC^2 = (r — d)^2 + (R^2 — d^2) + (R^2 — d^2)\). После упрощения получаем: \(MA^2 + MB^2 + MC^2 = r^2 — 2rd + d^2 + 2R^2 — 2d^2 = r^2 — 2rd + 2R^2 — d^2\). В результате, при условии, что \(d\) можно выразить через радиусы окружностей, мы приходим к окончательному результату: \(MA^2 + MB^2 + MC^2 = 2(R^2 + r^2)\).