ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12.17 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения \((a — c)^2 + (b — d)^2\), если \(a^2 + b^2 = 1\), \(c^2 + d^2 = 4\).

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения (a — c)² + (b — d)² при условиях a² + b² = 1 и c² + d² = 4, рассмотрим два вектора (a, b) и (c, d), где первый имеет длину 1, а второй — 2. Выражение можно переписать как 5 — 2(ac + bd). Максимальное значение ac + bd достигается при cos(θ) = 1 и равно 2, что дает 5 — 2(-2) = 9. Минимальное значение достигается при cos(θ) = -1 и равно -2, что дает 5 — 2(2) = 1. Таким образом, наибольшее значение равно 9, а наименьшее — 1.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения (a — c)² + (b — d)² при условиях a² + b² = 1 и c² + d² = 4, начнем с анализа данных условий. Первое условие a² + b² = 1 описывает окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Векторы (a, b) могут принимать любые значения, находящиеся на этой окружности. Второе условие c² + d² = 4 соответствует окружности радиуса 2, также с центром в начале координат. Это означает, что векторы (c, d) могут находиться на окружности радиуса 2.

Теперь рассмотрим выражение (a — c)² + (b — d)². Это выражение можно интерпретировать как квадрат расстояния между двумя точками: одной, заданной вектором (a, b), и другой, заданной вектором (c, d). Расстояние между этими двумя точками можно выразить через скалярное произведение: (a — c)² + (b — d)² = (a² + b²) + (c² + d²) — 2(ac + bd). Подставляя известные значения, получаем 1 + 4 — 2(ac + bd), что упрощается до 5 — 2(ac + bd).

Теперь нам нужно найти максимальные и минимальные значения для выражения ac + bd. Для этого используем свойства скалярного произведения. Скалярное произведение двух векторов (a, b) и (c, d) можно выразить как |(a, b)| * |(c, d)| * cos(θ), где θ — угол между векторами. Поскольку длина вектора (a, b) равна 1, а длина вектора (c, d) равна 2, мы можем записать ac + bd = 1 * 2 * cos(θ) = 2 cos(θ). Наибольшее значение cos(θ) равно 1, что соответствует ситуации, когда векторы направлены в одну сторону, и в этом случае ac + bd = 2. Минимальное значение cos(θ) равно -1, когда векторы направлены в противоположные стороны, и тогда ac + bd = -2.

Теперь подставим эти значения в выражение 5 — 2(ac + bd). При максимальном значении ac + bd = 2, получаем 5 — 2 * 2 = 1. При минимальном значении ac + bd = -2, получаем 5 — 2 * (-2) = 9. Таким образом, наибольшее значение выражения (a — c)² + (b — d)² равно 9, а наименьшее значение — 1. Эти результаты можно интерпретировать как расстояния между двумя окружностями: наименьшее расстояние достигается, когда векторы направлены в одну сторону, а наибольшее — когда они направлены в противоположные стороны.