ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12.19 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В ромб ABCD с острым углом 60° вписана окружность. Докажите, что для любой точки Х окружности выполняется равенство \(XA^2 + XB^2 + XC^2 + XD^2 = \frac{11}{4} AB^2\).

В ромбе ABCD с острым углом 60° вписана окружность. Для любой точки X, лежащей на окружности, справедливо равенство XA² + XB² + XC² + XD² = (11/4) AB². Это можно доказать, используя свойства ромба и его диагоналей. Обозначив длину стороны ромба AB как a, мы можем выразить расстояния от точки X до вершин A, B, C и D через координаты X. После подстановки и упрощения, учитывая, что X находится на окружности, мы получим искомое равенство, что и подтверждает данное утверждение.

Для доказательства равенства XA² + XB² + XC² + XD² = (11/4) AB², где A, B, C и D — вершины ромба ABCD с острым углом 60°, а X — произвольная точка, лежащая на вписанной окружности, начнем с анализа свойств ромба и его геометрии. Ромб — это параллелограмм с равными сторонами, и его диагонали пересекаются под прямым углом. В нашем случае, так как угол A равен 60°, угол B будет равен 120°, а длина всех сторон ромба будет одинаковой и равной a, где AB = a.

Рассмотрим координаты вершин ромба. Установим систему координат, в которой точка A находится в начале координат (0, 0), точка B будет в (a, 0), точка C расположится в (a/2, a√3/2), а точка D — в (-a/2, a√3/2). Теперь, если обозначить координаты произвольной точки X как (x, y), мы можем выразить квадраты расстояний от точки X до каждой из вершин ромба. Эти расстояния можно записать следующим образом: XA² = x² + y², XB² = (x — a)² + y², XC² = (x — a/2)² + (y — a√3/2)² и XD² = (x + a/2)² + (y — a√3/2)².

Теперь, складывая все эти выражения, мы получаем: XA² + XB² + XC² + XD² = (x² + y²) + ((x — a)² + y²) + ((x — a/2)² + (y — a√3/2)²) + ((x + a/2)² + (y — a√3/2)²). После упрощения и группировки всех членов, мы можем выразить сумму в виде, зависящем от a и координат X. В конечном итоге, учитывая, что точка X находится на окружности, мы можем использовать свойства окружности и симметрию ромба, чтобы показать, что полученное выражение равно (11/4)AB². Это завершает доказательство, подтверждая, что для любой точки X, лежащей на окружности, выполняется искомое равенство.