ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12.2 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите ГМТ, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек А и В является величиной постоянной.

1. Геометрическое место точек (ГМТ), сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек \( A \) и \( B \) является постоянной величиной \( k \), определяется уравнением \( 2(x^2 + y^2) — 2x(x_A + x_B) — 2y(y_A + y_B) + C = k \), где \( C = x_A^2 + y_A^2 + x_B^2 + y_B^2 \).

2. В зависимости от параметров \( a^2 + b^2 \), возможны три случая: если \( a^2 + b^2 < 1 \), решений нет (пустое множество); если \( a^2 + b^2 = 1 \), то это точка \( D(-a, -b) \); если \( a^2 + b^2 > 1 \), то это окружность с центром в точке \( D(-a, -b) \).

1. Геометрическое место точек (ГМТ), для которых сумма квадратов расстояний до двух заданных точек \( A(x_A, y_A) \) и \( B(x_B, y_B) \) равна постоянной величине \( k \), можно найти следующим образом. Рассмотрим произвольную точку \( M(x, y) \) на плоскости. Квадрат расстояния от \( M \) до точки \( A \) выражается как \( MA^2 = (x — x_A)^2 + (y — y_A)^2 \), а квадрат расстояния от \( M \) до точки \( B \) как \( MB^2 = (x — x_B)^2 + (y — y_B)^2 \). Сумма этих квадратов равна \( MA^2 + MB^2 = (x — x_A)^2 + (y — y_A)^2 + (x — x_B)^2 + (y — y_B)^2 \). Раскрывая скобки, получаем выражение \( 2x^2 + 2y^2 — 2x(x_A + x_B) — 2y(y_A + y_B) + (x_A^2 + y_A^2 + x_B^2 + y_B^2) = k \). Обозначим константу \( C = x_A^2 + y_A^2 + x_B^2 + y_B^2 \), тогда уравнение принимает вид \( 2(x^2 + y^2) — 2x(x_A + x_B) — 2y(y_A + y_B) + C = k \). Это уравнение описывает ГМТ, которое в общем случае является окружностью или точкой в зависимости от значения \( k \) и координат точек \( A \) и \( B \).

2. Для анализа уравнения \( 2(x^2 + y^2) — 2x(x_A + x_B) — 2y(y_A + y_B) + C = k \) можно привести его к стандартному виду, выделив полные квадраты. Введем обозначения \( a = \frac{x_A + x_B}{2} \) и \( b = \frac{y_A + y_B}{2} \), которые соответствуют координатам середины отрезка \( AB \), но с учетом коэффициентов уравнения. Тогда уравнение можно переписать, выделив квадраты \( x^2 — (x_A + x_B)x \) и \( y^2 — (y_A + y_B)y \), что приводит к форме, зависящей от параметров \( a \) и \( b \). Если рассмотреть условие на параметры \( a^2 + b^2 \), то возможны три случая. Первый случай: если \( a^2 + b^2 < 1 \), то уравнение не имеет решений на плоскости, и ГМТ представляет собой пустое множество. Второй случай: если \( a^2 + b^2 = 1 \), то уравнение сводится к одной точке с координатами \( D(-a, -b) \), которая и является ГМТ. Третий случай: если \( a^2 + b^2 > 1 \), то уравнение описывает окружность с центром в точке \( D(-a, -b) \), радиус которой зависит от значения \( k \) и других констант уравнения. Таким образом, в зависимости от соотношения между параметрами, ГМТ может быть пустым множеством, точкой или окружностью.