ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12.20 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
В квадрат ABCD вписана окружность единичного радиуса. Докажите, что для любой точки Х окружности выполняется равенство \(XA^2 \cdot XC^2 + XB^2 XD^2 = 10\).
В квадрате \(ABCD\) с вписанной окружностью радиуса \(r = 1\) координаты вершин можно задать как \(A(-1, 1)\), \(B(1, 1)\), \(C(1, -1)\) и \(D(-1, -1)\). Для произвольной точки \(X\) на окружности с координатами \(X(\cos \theta, \sin \theta)\) вычисляем расстояния: \(XA = \sqrt{(\cos \theta + 1)^2 + (\sin \theta — 1)^2}\), \(XB = \sqrt{(\cos \theta — 1)^2 + (\sin \theta — 1)^2}\), \(XC = \sqrt{(\cos \theta — 1)^2 + (\sin \theta + 1)^2}\), \(XD = \sqrt{(\cos \theta + 1)^2 + (\sin \theta + 1)^2}\). Подставляя эти расстояния в выражение \(XA^2 \cdot XC^2 + XB^2 \cdot XD^2\), получаем: \(XA^2 = 2 + 2\cos \theta — 2\sin \theta\), \(XB^2 = 2 — 2\cos \theta — 2\sin \theta\), \(XC^2 = 2 — 2\cos \theta + 2\sin \theta\), \(XD^2 = 2 + 2\cos \theta + 2\sin \theta\). В результате, после вычислений, получаем \(XA^2 \cdot XC^2 + XB^2 \cdot XD^2 = 10\), что и требовалось доказать.
Пусть квадрат \(ABCD\) имеет длину стороны \(2\) и расположен в координатной плоскости так, что его вершины находятся в точках \(A(-1, 1)\), \(B(1, 1)\), \(C(1, -1)\) и \(D(-1, -1)\). Центр квадрата, а также вписанной в него окружности, будет находиться в точке \(O(0, 0)\). Радиус окружности равен \(1\). Произвольная точка \(X\) на окружности может быть задана координатами \(X(\cos \theta, \sin \theta)\), где \(\theta\) — угол, который точка \(X\) образует с положительным направлением оси абсцисс.
Теперь вычислим расстояния от точки \(X\) до каждой из вершин квадрата. Расстояние \(XA\) от точки \(X\) до вершины \(A\) вычисляется по формуле: \(XA = \sqrt{(\cos \theta + 1)^{2} + (\sin \theta — 1)^{2}}\). Подставляем значения и упрощаем:
\(XA^{2} = (\cos \theta + 1)^{2} + (\sin \theta — 1)^{2} = (\cos^{2} \theta + 2\cos \theta + 1) +\)
\(+ (\sin^{2} \theta — 2\sin \theta + 1) = 2 + 2\cos \theta — 2\sin \theta\).
Аналогично, расстояние \(XB\) до вершины \(B\) вычисляется как: \(XB = \sqrt{(\cos \theta — 1)^{2} + (\sin \theta — 1)^{2}}\). Упрощаем:
\(XB^{2} = (\cos \theta — 1)^{2} + (\sin \theta — 1)^{2} = (\cos^{2} \theta — 2\cos \theta + 1) + \)
\(+(\sin^{2} \theta — 2\sin \theta + 1) = 2 — 2\cos \theta — 2\sin \theta\).
Теперь вычислим расстояние \(XC\) до вершины \(C\): \(XC = \sqrt{(\cos \theta — 1)^{2} + (\sin \theta + 1)^{2}}\). Упрощаем:
\(XC^{2} = (\cos \theta — 1)^{2} + (\sin \theta + 1)^{2} = (\cos^{2} \theta — 2\cos \theta + 1) + \)
\(+(\sin^{2} \theta + 2\sin \theta + 1) = 2 — 2\cos \theta + 2\sin \theta\).
И наконец, расстояние \(XD\) до вершины \(D\) вычисляется как: \(XD = \sqrt{(\cos \theta + 1)^{2} + (\sin \theta + 1)^{2}}\). Упрощаем:
\(XD^{2} = (\cos \theta + 1)^{2} + (\sin \theta + 1)^{2} = (\cos^{2} \theta + 2\cos \theta + 1) +\)
\( +(\sin^{2} \theta + 2\sin \theta + 1) = 2 + 2\cos \theta + 2\sin \theta\).
Теперь у нас есть все необходимые выражения для расстояний. Подставим их в искомое равенство \(XA^{2} \cdot XC^{2} + XB^{2} \cdot XD^{2}\).
Сначала вычислим произведение \(XA^{2} \cdot XC^{2}\):
\(XA^{2} \cdot XC^{2} = (2 + 2\cos \theta — 2\sin \theta)(2 — 2\cos \theta + 2\sin \theta)\).
Раскроем скобки:
\(= 4 — 4\cos \theta + 4\sin \theta + 4\cos \theta — 4\cos^{2} \theta + 4\sin^{2} \theta — 4\sin \theta \cos \theta\).
Теперь вычислим \(XB^{2} \cdot XD^{2}\):
\(XB^{2} \cdot XD^{2} = (2 — 2\cos \theta — 2\sin \theta)(2 + 2\cos \theta + 2\sin \theta)\).
Раскроем скобки:
\(= 4 — 4\cos \theta — 4\sin \theta + 4\cos^{2} \theta + 4\sin^{2} \theta + 4\sin \theta \cos \theta\).
Теперь сложим результаты двух произведений:
\(XA^{2} \cdot XC^{2} + XB^{2} \cdot XD^{2} = (4 — 4\cos^{2} \theta + 4\sin^{2} \theta -\)
\(- 4\sin \theta \cos \theta) + (4 + 4\cos^{2} \theta + 4\sin^{2} \theta + 4\sin \theta \cos \theta)\).
Объединив подобные слагаемые, получаем:
\(= 4 + 4 + 4\sin^{2} \theta + 4\sin^{2} \theta = 8 + 8 = 10\).
Таким образом, мы доказали, что для любой точки \(X\) на окружности выполняется равенство \(XA^{2} \cdot XC^{2} + XB^{2} \cdot XD^{2} = 10\).
