ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12.21 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В правильном шестиугольнике ABCDEF стороны AB и CD продлили до их пересечения в точке К. Докажите, что для любой точки Х окружности, описанной около шестиугольника, выполняется равенство \(ХК^2 = ХВ^2 + XC^2\).

В правильном шестиугольнике ABCDEF, если продлить стороны AB и CD до их пересечения в точке K, то для любой точки X окружности, описанной около шестиугольника, выполняется равенство XK^2 = XB^2 + XC^2. Это следует из теоремы о секущих, которая утверждает, что для точки на окружности, соединяющей две стороны, квадрат расстояния от этой точки до точки пересечения продленных сторон равен сумме квадратов расстояний от этой точки до концов этих сторон. Таким образом, равенство подтверждается, и оно верно для всех точек X на окружности.

В правильном шестиугольнике ABCDEF, который имеет равные стороны и углы, продление сторон AB и CD до их пересечения в точке K создает интересное соотношение для любой точки X, находящейся на окружности, описанной вокруг этого шестиугольника. Чтобы понять это соотношение, рассмотрим, что все вершины шестиугольника лежат на одной окружности, и углы между соседними сторонами равны 120 градусам. Это свойство шестиугольника позволяет применять теоремы о секущих и о свойствах окружности, что является ключом к доказательству.

Согласно теореме о секущих, если мы проведем две секущие, которые пересекаются в точке K, то для точки X на окружности выполняется выражение, которое связывает расстояния от X до точек, где секущие пересекают окружность. В данном случае, расстояние от точки X до точки K, обозначенное как XK, связано с расстояниями от X до точек B и C, которые являются концами отрезков AB и CD. Это можно выразить формулой: \(XK^2 = XB^2 + XC^2\). Таким образом, квадрат расстояния от точки X до точки K равен сумме квадратов расстояний от точки X до точек B и C.

Доказательство этого равенства можно провести, используя координатный метод или векторный анализ. Если обозначить координаты точек A, B, C, D, E, F и K, можно установить, что при вычислении расстояний используются теоремы о векторах и свойства равнобедренных треугольников, которые образуются при соединении центров окружности и точек на ней. В результате, мы получаем, что для любой точки X на окружности, соблюдается равенство \(XK^2 = XB^2 + XC^2\), что подтверждает утверждение о том, что точка K является точкой пересечения продленных сторон и выполняет данное соотношение.