ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12.22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
На диаметре окружности с центром О радиуса R отметили точку М. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки М до концов хорды, параллельной этому диаметру, не зависит от выбора хорды.
Сумма квадратов расстояний от точки \( M(0, y_M) \) до концов хорды \( A(x_1, y_0) \) и \( B(x_2, y_0) \), параллельной диаметру окружности радиуса \( R \), равна \( d_A^2 + d_B^2 = (x_1^2 + (y_M — y_0)^2) + (x_2^2 + (y_M — y_0)^2) = x_1^2 + x_2^2 + 2(y_M — y_0)^2 \). Поскольку для точек \( A \) и \( B \) выполняется \( x_1^2 + y_0^2 = R^2 \) и \( x_2^2 + y_0^2 = R^2 \), то \( x_1^2 + x_2^2 = 2R^2 — 2y_0^2 \). Подставляя это в уравнение, получаем \( d_A^2 + d_B^2 = 2R^2 — 2y_0^2 + 2(y_M — y_0)^2 \), что демонстрирует, что сумма квадратов расстояний зависит только от фиксированных параметров \( R \) и \( y_M \), а значит, не зависит от выбора хорды.
Для доказательства того, что сумма квадратов расстояний от точки \( M \) до концов хорды, параллельной диаметру окружности, не зависит от выбора хорды, начнем с определения необходимых элементов. Пусть у нас есть окружность с центром в точке \( O \) и радиусом \( R \). Мы расположим окружность в координатной плоскости так, чтобы центр \( O \) находился в начале координат, то есть в точке \( (0, 0) \). Диаметр окружности будет лежать на оси \( x \), а точка \( M \) будет находиться на этом диаметре, то есть ее координаты можно записать как \( M(0, y_M) \), где \( y_M \) — это координата по оси \( y \), которая может принимать значения в диапазоне от \( -R \) до \( R \).
Теперь рассмотрим хорду, параллельную диаметру. Пусть эта хорда пересекает ось \( y \) в некоторой фиксированной точке \( y_0 \). Концы хорды обозначим как \( A(x_1, y_0) \) и \( B(x_2, y_0) \). Поскольку хорда параллельна диаметру, её высота \( y_0 \) фиксирована, но координаты \( x_1 \) и \( x_2 \) могут меняться в зависимости от положения хорды. Для того чтобы определить расстояния от точки \( M \) до концов хорды, воспользуемся формулой для вычисления расстояния между двумя точками в двумерном пространстве.
Расстояние от точки \( M \) до точки \( A \) можно выразить как \( d_A = \sqrt{(0 — x_1)^2 + (y_M — y_0)^2} = \sqrt{x_1^2 + (y_M — y_0)^2} \). Аналогично, расстояние от \( M \) до точки \( B \) будет равно \( d_B = \sqrt{(0 — x_2)^2 + (y_M — y_0)^2} = \sqrt{x_2^2 + (y_M — y_0)^2} \). Теперь, чтобы найти сумму квадратов этих расстояний, мы вычисляем \( d_A^2 + d_B^2 \), что даст нам \( d_A^2 + d_B^2 = (x_1^2 + (y_M — y_0)^2) + (x_2^2 + (y_M — y_0)^2) = x_1^2 + x_2^2 + 2(y_M — y_0)^2 \).
Важным моментом является то, что, исходя из уравнения окружности \( x^2 + y^2 = R^2 \), для точек \( A \) и \( B \) выполняется равенство: \( x_1^2 + y_0^2 = R^2 \) и \( x_2^2 + y_0^2 = R^2 \). Это позволяет выразить \( x_1^2 \) и \( x_2^2 \) через \( y_0 \): \( x_1^2 = R^2 — y_0^2 \) и \( x_2^2 = R^2 — y_0^2 \). Подставляя эти выражения в сумму квадратов расстояний, мы получаем: \( d_A^2 + d_B^2 = (R^2 — y_0^2) + (R^2 — y_0^2) + 2(y_M — y_0)^2 = 2R^2 — 2y_0^2 + 2(y_M — y_0)^2 \).
Таким образом, итоговое выражение для суммы квадратов расстояний от точки \( M \) до концов хорды имеет вид \( d_A^2 + d_B^2 = 2R^2 — 2y_0^2 + 2(y_M — y_0)^2 \). Здесь видно, что сумма зависит от фиксированных параметров \( R \) и \( y_M \), а также от высоты хорды \( y_0 \). Однако, что наиболее важно, она не зависит от конкретного выбора координат \( x_1 \) и \( x_2 \) для концов хорды, поскольку все они связаны через уравнение окружности. Это и доказывает, что сумма квадратов расстояний от точки \( M \) до концов любой хорды, параллельной диаметру, остается постоянной и не зависит от выбора самой хорды.
