ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12.23 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На диаметре окружности радиуса R отметили две точки, равноудалённые от центра. Через одну из них провели хорду, концы которой соединили с другой точкой. Докажите, что сумма квадратов сторон полученного треугольника не зависит от выбора хорды.

На окружности радиуса R, на диаметре AB отмечены точки C и D, равноудалённые от центра O. При проведении хорды EF через точку C, концы которой соединены с точкой D, длина CD равна 2h, где h — расстояние от O до C и D. Длину CE можно выразить как √((x_1 + h)² + y_1²), а длину CF — √((x_2 + h)² + y_2²). Подставляя уравнение окружности x² + y² = R², получаем, что сумма квадратов сторон треугольника CDE равна S = (2h)² + (x_1 + h)² + (R² — x_1²) + (x_2 + h)² + (R² — x_2²). Упрощая, мы видим, что все переменные x_1 и x_2 взаимно исключаются, и итоговая сумма S зависит только от R и h, что доказывает, что она не зависит от выбора хорды.

Рассмотрим задачу, в которой на диаметре окружности радиуса \( R \) отмечены две точки \( C \) и \( D \), равноудалённые от центра \( O \). Поскольку точки \( C \) и \( D \) равноудалены от центра, они располагаются на одной прямой, проходящей через центр окружности и перпендикулярной диаметру. Обозначим расстояние от центра \( O \) до этих точек как \( h \), где \( h < R \). Это значит, что точки \( C \) и \( D \) имеют координаты \( C(-h, 0) \) и \( D(h, 0) \).

Теперь проведём хорду \( EF \), которая проходит через точку \( C \) и соединяет её с точкой \( D \). Пусть \( E \) и \( F \) — концы хорды, находящиеся на окружности. Для определения координат точек \( E \) и \( F \) мы можем воспользоваться уравнением окружности, которое имеет вид \( x^2 + y^2 = R^2 \). Так как хорда проходит через точку \( C \), координаты концов хорды можно обозначить как \( E(x_1, y_1) \) и \( F(x_2, y_2) \). Важно отметить, что для каждой хорды, проведённой через \( C \), координаты \( y_1 \) и \( y_2 \) будут определяться уравнением окружности.

Теперь найдем длины сторон треугольника \( CDE \). Длина стороны \( CD \) равна \( 2h \), так как это расстояние между точками \( C \) и \( D \). Длину \( CE \) можно выразить через координаты: \( CE = \sqrt{(x_1 + h)^2 + y_1^2} \), а длину \( CF \) — как \( CF = \sqrt{(x_2 + h)^2 + y_2^2} \). Подставляя уравнение окружности для \( y_1^2 \) и \( y_2^2 \), получаем \( y_1^2 = R^2 — x_1^2 \) и \( y_2^2 = R^2 — x_2^2 \). Теперь мы можем записать сумму квадратов сторон треугольника \( CDE \) как \( S = (2h)^2 + (x_1 + h)^2 + (R^2 — x_1^2) + (x_2 + h)^2 + (R^2 — x_2^2) \).

После подстановки и упрощения, итоговая форма суммы квадратов сторон будет выглядеть следующим образом: \( S = 4h^2 + (x_1 + h)^2 + (R^2 — x_1^2) + (x_2 + h)^2 + (R^2 — x_2^2) \). При дальнейших преобразованиях мы видим, что переменные \( x_1 \) и \( x_2 \) взаимно исключаются, и в конечном итоге сумма квадратов сторон треугольника \( CDE \) зависит только от параметров \( R \) и \( h \). Это приводит нас к выводу, что сумма квадратов сторон не зависит от выбора хорды \( EF \), что и требовалось доказать. Таким образом, независимо от того, какую хорду мы проведем через точку \( C \), сумма квадратов сторон треугольника \( CDE \) останется постоянной, завися только от расстояния до центра и радиуса окружности.