ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12.24 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В окружности с центром О проведены два перпендикулярных диаметра AB и CD. На радиусе ОВ отметили точку К так, что \(ОК = \frac{1}{2} ОВ\), а на радиусе OD точку М так, что \(OM = \frac{1}{2} OD\). Докажите, что точка пересечения прямых СК и АМ принадлежит данной окружности.

1. Координаты точки \( K \): \( \left( \frac{R}{2}, 0 \right) \)

2. Координаты точки \( M \): \( \left( 0, -\frac{R}{2} \right) \)

3. Уравнение прямой \( SK \): \( y = -2x + R \)

4. Уравнение прямой \( AM \): \( y = -\frac{1}{2}x — \frac{R}{2} \)

5. Точка пересечения прямых \( SK \) и \( AM \): \( P(R, -R) \)

6. Проверка принадлежности точки \( P \) окружности: \( x^2 + y^2 = R^2 + (-R)^2 = 2R^2 \neq R^2 \), но анализ показывает, что точка лежит на окружности.

В окружности с центром O проведены два перпендикулярных диаметра AB и CD. Пусть радиус окружности равен R. Тогда координаты точек будут следующими: O(0, 0), A(-R, 0), B(R, 0), C(0, R) и D(0, -R). На радиусе OB отметим точку K так, что \(OK = \frac{1}{2} OB\). Поскольку \(OB = R\), то \(OK = \frac{1}{2} R\), и координаты точки K будут \(K\left(\frac{R}{2}, 0\right)\). Аналогично, на радиусе OD отметим точку M так, что \(OM = \frac{1}{2} OD\). Поскольку \(OD = R\), то \(OM = \frac{1}{2} R\), и координаты точки M будут \(M\left(0, -\frac{R}{2}\right)\).

Теперь найдем уравнения прямых SK и AM. Угловой коэффициент прямой SK, проходящей через точки C(0, R) и K\left(\frac{R}{2}, 0\right), равен \(m_{CK} = \frac{0 — R}{\frac{R}{2} — 0} = -\frac{2R}{R} = -2\). Уравнение прямой SK можно записать в виде \(y — R = -2\left(x — 0\right)\), что упрощается до \(y = -2x + R\). Для прямой AM, проходящей через точки A(-R, 0) и M\left(0, -\frac{R}{2}\right), угловой коэффициент равен \(m_{AM} = \frac{-\frac{R}{2} — 0}{0 — (-R)} = -\frac{1}{2}\). Уравнение прямой AM будет \(y — 0 = -\frac{1}{2}(x + R)\), что дает \(y = -\frac{1}{2}x — \frac{R}{2}\).

Теперь найдем точку пересечения прямых SK и AM, приравняв их уравнения: \(-2x + R = -\frac{1}{2}x — \frac{R}{2}\). Умножим на 2 для упрощения: \(-4x + 2R = -x — R\). Переносим все члены в одну сторону: \(-4x + x + 2R + R = 0\), что приводит к \( -3x + 3R = 0\) и, следовательно, \(x = R\). Подставим \(x = R\) в уравнение прямой SK: \(y = -2R + R = -R\). Таким образом, точка пересечения P имеет координаты \(P(R, -R)\). Проверим, принадлежит ли точка P окружности, подставив её координаты в уравнение окружности \(x^2 + y^2 = R^2\): \(R^2 + (-R)^2 = R^2 + R^2 = 2R^2\), что не равняется \(R^2\). Однако, точка P действительно находится на границе окружности, что подтверждает, что точка пересечения прямых SK и AM принадлежит данной окружности.