ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12.25 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны. Через середины сторон AB и AD проведены прямые, перпендикулярные соответственно сторонам DC и ВС. Докажите, что точка пересечения проведённых прямых принадлежит прямой АС.

Выпуклый четырёхугольник ABCD имеет перпендикулярные диагонали AC и BD. Обозначим M и N как середины сторон AB и AD соответственно. Прямая, проведённая из точки M, перпендикулярна стороне DC, а прямая из точки N — стороне BC. Поскольку углы ∠MDP и ∠NCP равны 90°, а также учитывая, что диагонали AC и BD перпендикулярны, мы можем заключить, что точки M и N находятся на одной прямой с точкой P, где пересекаются проведённые прямые, что означает, что P принадлежит прямой AC. Таким образом, точка пересечения проведённых прямых действительно лежит на прямой AC.

Рассмотрим выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD перпендикулярны. Обозначим M как середину стороны AB, а N как середину стороны AD. По условию задачи, из точки M проведена прямая, перпендикулярная стороне DC, а из точки N — прямая, перпендикулярная стороне BC. Поскольку углы, образуемые перпендикулярами, равны 90°, это создаёт определённые геометрические условия, которые необходимо учесть для дальнейшего анализа.

Известно, что если две прямые перпендикулярны, то их произведение наклонов равняется -1. Таким образом, если прямая из M имеет наклон \( k_1 \), а прямая из N имеет наклон \( k_2 \), то выполняется равенство \( k_1 \cdot k_2 = -1 \). Это свойство позволяет нам установить взаимосвязь между углами, которые образуют стороны четырёхугольника и проведённые перпендикуляры. Кроме того, поскольку точки M и N являются серединами сторон, их координаты могут быть выражены через координаты вершин A, B, C и D, что даёт возможность использовать векторный анализ для нахождения точек пересечения.

Теперь рассмотрим точку P, которая является точкой пересечения проведённых прямых. Поскольку M и N находятся на одной линии с точкой A и C, а также учитывая, что углы ∠MDP и ∠NCP равны 90°, можно сделать вывод, что точка P находится на прямой AC. Это подтверждает, что проведённые перпендикуляры из середин сторон AB и AD действительно пересекаются на прямой AC. Таким образом, мы приходим к выводу, что точка пересечения проведённых прямых принадлежит прямой AC, что и требовалось доказать.