ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12.3 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите ГМТ, сумма квадратов расстояний от которых до вершин А и В треугольника АВС равна квадрату расстояния до третьей его вершины — точки С.

Для нахождения точки \( G \), сумма квадратов расстояний от которой до вершин \( A \) и \( B \) треугольника \( ABC \) равна квадрату расстояния до вершины \( C \), используется уравнение: \( (x — x_A)^2 + (y — y_A)^2 + (x — x_B)^2 + (y — y_B)^2 = (x — x_C)^2 + (y — y_C)^2 \). После раскрытия скобок и упрощения получается уравнение окружности или прямой, зависящее от координат точек \( A \), \( B \) и \( C \).

Для решения задачи о нахождении точки \( G \), сумма квадратов расстояний от которой до вершин \( A \) и \( B \) треугольника \( ABC \) равна квадрату расстояния до вершины \( C \), используем подход координатной геометрии. Рассмотрим треугольник \( ABC \) с вершинами в точках \( A(x_A, y_A) \), \( B(x_B, y_B) \) и \( C(x_C, y_C) \). Точка \( G(x, y) \) должна удовлетворять условию \( GA^2 + GB^2 = GC^2 \), что в координатах записывается как \( (x — x_A)^2 + (y — y_A)^2 + (x — x_B)^2 + (y — y_B)^2 = (x — x_C)^2 + (y — y_C)^2 \).

Раскроем скобки для каждого члена уравнения. Для \( GA^2 \) получаем выражение \( x^2 — 2x x_A + x_A^2 + y^2 — 2y y_A + y_A^2 \). Для \( GB^2 \) выражение будет \( x^2 — 2x x_B + x_B^2 + y^2 — 2y y_B + y_B^2 \). Для правой части \( GC^2 \) имеем \( x^2 — 2x x_C + x_C^2 + y^2 — 2y y_C + y_C^2 \). Теперь сложим все члены левой части и перенесем правую часть влево, чтобы получить уравнение в общем виде.

После сложения и упрощения подобных членов уравнение принимает вид \( 2x^2 + 2y^2 — 2x(x_A + x_B) — 2y(y_A + y_B) + (x_A^2 + x_B^2 + y_A^2 + y_B^2) — (x^2 — \)
\(-2x x_C + x_C^2 + y^2 — 2y y_C + y_C^2) = 0 \). Упростим дальше, приводя подобные члены: \( x^2 + y^2 — 2x(x_A + x_B — x_C) — 2y(y_A + y_B — y_C) + (x_A^2 + x_B^2 — x_C^2 + y_A^2 +\)
\(+ y_B^2 — y_C^2) = 0 \).

Полученное уравнение представляет собой уравнение окружности или прямой в зависимости от расположения точек \( A \), \( B \) и \( C \). Если это окружность, то ее центр имеет координаты \( \left( x_A + x_B — x_C, y_A + y_B — y_C \right) \), но для точного определения радиуса или подтверждения, является ли решение прямой, необходимо учитывать конкретные значения координат вершин треугольника. Таким образом, точка \( G \) принадлежит геометрическому месту точек, определяемому данным уравнением, и может быть найдена путем его решения.