Учебник «Геометрия 9 класс. Углубленный уровень» авторов Мерзляка и Полякова — это современное пособие, которое станет надёжным помощником для учеников, изучающих геометрию на повышенном уровне сложности. Этот учебник сочетает в себе доступное изложение теоретического материала, разнообразные задачи и практическую направленность, что делает его незаменимым как для школьных занятий, так и для самостоятельного изучения.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12.4 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Найдите ГМТ, сумма квадратов расстояний от которых до вершин треугольника АВС является величиной постоянной.
Для нахождения геометрического места точек (ГМТ), сумма квадратов расстояний от которых до вершин треугольника \( ABC \) является постоянной величиной \( S = PA^2 + PB^2 + PC^2 \), точка \( P \) должна лежать в точке пересечения медиан треугольника или на окружности с центром в этой точке. Таким образом, ГМТ — это пустое множество, точка пересечения медиан или окружность с центром в этой точке.
Для решения задачи о нахождении геометрического места точек (ГМТ), сумма квадратов расстояний от которых до вершин треугольника \( ABC \) является постоянной величиной, необходимо рассмотреть геометрические и алгебраические свойства треугольника. Пусть дана точка \( P(x, y) \), а вершины треугольника имеют координаты \( A(x_A, y_A) \), \( B(x_B, y_B) \) и \( C(x_C, y_C) \). Сумма квадратов расстояний от точки \( P \) до вершин выражается как \( S = PA^2 + PB^2 + PC^2 \), и эта сумма должна быть постоянной.
Выразим \( S \) через координаты: \( PA^2 = (x — x_A)^2 + (y — y_A)^2 \), \( PB^2 = (x — x_B)^2 + (y — y_B)^2 \), \( PC^2 = (x — x_C)^2 + (y — y_C)^2 \). Таким образом, \( S = (x — x_A)^2 + (y — y_A)^2 + (x — x_B)^2 + (y — y_B)^2 + (x — x_C)^2 + (y — y_C)^2 \). Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены: \( S = 3x^2 + 3y^2 — 2x(x_A + x_B + x_C) — 2y(y_A + y_B + y_C) + (x_A^2 + x_B^2 + x_C^2 +\)
\(+ y_A^2 + y_B^2 + y_C^2) \).
Заметим, что координаты центра масс (точки пересечения медиан) треугольника \( ABC \) равны \( x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} \), \( y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \). Подставим это в выражение для \( S \), перенеся начало координат в точку \( G \), то есть положив \( x’ = x — x_G \), \( y’ = y — y_G \). Тогда выражение упрощается до \( S = 3(x’^2 + y’^2) + \text{константа} \), где константа зависит от координат вершин треугольника.
Из этого видно, что \( S \) принимает минимальное значение в точке \( G \), когда \( x’ = 0 \), \( y’ = 0 \), и увеличивается пропорционально квадрату расстояния от точки \( G \). Таким образом, если \( S \) является постоянной, то \( x’^2 + y’^2 = \text{константа} \), что описывает окружность с центром в точке \( G \). Если \( S \) равно минимальному значению, то ГМТ — это только точка \( G \), а если \( S \) меньше минимального значения, то ГМТ — пустое множество.
Итак, геометрическое место точек, для которых сумма квадратов расстояний до вершин треугольника \( ABC \) постоянна, представляет собой пустое множество (если сумма меньше минимально возможной), точку пересечения медиан треугольника \( ABC \) (если сумма равна минимальному значению) или окружность с центром в точке пересечения медиан (если сумма больше минимального значения).
