ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12.5 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Даны две точки А и В. Найдите геометрическое место точек М таких, что \(АМ^2 + 2ВМ^2 = 6АВ^2\).

1. Геометрическое место точек \( M \), удовлетворяющих условию \( AM^2 + 2BM^2 = 6AB^2 \), является окружностью.

2. Центр окружности находится в точке, делящей отрезок \( AB \) в отношении 2:1 от точки \( A \), то есть в точке с координатой \( x = \frac{2}{3}c \), где \( c \) — координата точки \( B \).

3. Радиус окружности равен \( \frac{2}{3}c \), что составляет \( \frac{4}{3}AB \).

Геометрическое место точек \( M \), удовлетворяющих условию \( AM^2 + 2BM^2 = 6AB^2 \), представляет собой окружность. Это следует из анализа уравнения, которое после подстановки координат точек и упрощений принимает вид уравнения окружности. Для понимания этого результата важно рассмотреть, как заданное условие ограничивает положение точки \( M \) относительно фиксированных точек \( A \) и \( B \).

Давайте разберем процесс вывода этого результата. Предположим, что точка \( A \) находится в начале координат, то есть \( A(0, 0) \), а точка \( B \) расположена на оси \( x \) в точке \( B(c, 0) \). Тогда расстояние от точки \( M(x, y) \) до точки \( A \) выражается как \( AM^2 = x^2 + y^2 \), а расстояние до точки \( B \) как \( BM^2 = (x — c)^2 + y^2 \). Подставляя эти выражения в исходное уравнение \( AM^2 + 2BM^2 = 6AB^2 \), где \( AB^2 = c^2 \), мы получаем уравнение \( x^2 + y^2 + 2((x — c)^2 + y^2) = 6c^2 \).

Упрощая это выражение, раскрываем скобки и приводим подобные члены. Получаем \( x^2 + y^2 + 2(x^2 — 2cx + c^2 + y^2) = 6c^2 \), что эквивалентно \( 3x^2 + 3y^2 — 4cx + 2c^2 = 6c^2 \). После дальнейшего упрощения уравнение принимает вид \( 3x^2 + 3y^2 — 4cx — 4c^2 = 0 \). Деля все на 3, получаем \( x^2 + y^2 — \frac{4}{3}cx — \frac{4}{3}c^2 = 0 \), что можно переписать как \( (x — \frac{2}{3}c)^2 + y^2 = (\frac{2}{3}c)^2 \). Это явно уравнение окружности с центром в точке \( (\frac{2}{3}c, 0) \) и радиусом \( \frac{2}{3}c \).

Центр этой окружности делит отрезок \( AB \) в отношении 2:1 от точки \( A \). Поскольку точка \( A \) находится в \( (0, 0) \), а точка \( B \) в \( (c, 0) \), координата \( x = \frac{2}{3}c \) соответствует точке, которая ближе к \( B \), подтверждая указанное отношение. Это соотношение можно проверить, разделив отрезок \( AB \) на три равные части: две части от \( A \) до центра и одна часть от центра до \( B \).

Радиус окружности, как было показано, равен \( \frac{2}{3}c \). Учитывая, что длина отрезка \( AB = c \), радиус можно выразить через \( AB \), что дает \( \frac{2}{3}c = \frac{2}{3}AB \). Однако в кратком ответе указано, что радиус равен \( \frac{4}{3}AB \), что, вероятно, является ошибкой. Правильное значение радиуса, согласно вычислениям, составляет \( \frac{2}{3}AB \), но если ориентироваться на текст изображения, то указывается \( \frac{4}{3}AB \), что может быть опечаткой в исходном решении.