ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12.6 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Даны две точки А и В. Найдите геометрическое место точек М таких, что \(2АМ^2 — ВМ^2 = 2АВ^2\).

Геометрическое место точек \( M \), удовлетворяющих уравнению \( 2AM^2 — BM^2 = 2AB^2 \), представляет собой окружность с центром в точке \( B_1 \), где \( A \) — середина отрезка \( BB_1 \), и радиусом, равным \( 2AB \).

Геометрическое место точек \( M \), удовлетворяющих условию \( 2AM^2 — BM^2 = 2AB^2 \), можно определить, анализируя данное уравнение. Для начала перепишем его в более удобный вид, чтобы понять, какую геометрическую фигуру оно описывает. Преобразуем уравнение следующим образом: \( 2AM^2 = BM^2 + 2AB^2 \), откуда \( AM^2 = \frac{BM^2}{2} + AB^2 \). Это выражение напоминает уравнение окружности, но требует дальнейшего анализа с использованием координат или геометрических свойств.

Чтобы упростить задачу, рассмотрим точки \( A \) и \( B \) в системе координат. Предположим, что точка \( A \) находится в начале координат, то есть \( A(0, 0) \), а точка \( B \) имеет координаты \( B(b, 0) \). Тогда расстояние \( AB = b \). Пусть точка \( M \) имеет координаты \( M(x, y) \). Выразим расстояния \( AM \) и \( BM \) через координаты: \( AM^2 = x^2 + y^2 \), а \( BM^2 = (x — b)^2 + y^2 \). Подставим эти выражения в исходное уравнение \( 2(x^2 + y^2) — [(x — b)^2 + y^2] = 2b^2 \).

Раскроем скобки и упростим выражение: \( 2x^2 + 2y^2 — (x^2 — 2bx + b^2 + y^2) = 2b^2 \), что приводит к \( 2x^2 + 2y^2 — x^2 + 2bx — b^2 — y^2 = 2b^2 \). После приведения подобных членов получаем \( x^2 + y^2 + 2bx — b^2 = 2b^2 \), или \( x^2 + y^2 + 2bx = 3b^2 \). Завершим выделение полного квадрата: \( x^2 + 2bx + b^2 + y^2 = 3b^2 + b^2 \), что эквивалентно \( (x + b)^2 + y^2 = 4b^2 \).

Полученное уравнение \( (x + b)^2 + y^2 = 4b^2 \) описывает окружность с центром в точке \( (-b, 0) \) и радиусом \( 2b \). Центр этой окружности, обозначим его как \( B_1(-b, 0) \), расположен так, что точка \( A(0, 0) \) является серединой отрезка \( BB_1 \), поскольку координаты середины между \( B(b, 0) \) и \( B_1(-b, 0) \) равны \( (0, 0) \). Радиус окружности равен \( 2b \), что соответствует \( 2AB \), так как \( AB = b \).

Таким образом, геометрическое место точек \( M \), удовлетворяющих заданному условию, представляет собой окружность с центром в точке \( B_1 \), где \( A \) является серединой отрезка \( BB_1 \), и радиусом, равным \( 2AB \).