ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12.7 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Даны две точки А и В. Найдите геометрическое место точек С таких, что медиана AD треугольника АВС имеет постоянную длину d.
Чтобы найти геометрическое место точек \(C\) таких, что медиана \(AD\) треугольника \(ABC\) имеет длину \(d\), необходимо, чтобы длина медианы \(AD = \sqrt{(x_A — \frac{x_B + x_C}{2})^2 + (y_A — \frac{y_B + y_C}{2})^2} = d\). Упрощая это уравнение, получаем, что оно описывает окружность с центром в точке \(B_1\), где \(A\) является серединой отрезка \(BB_1\), а радиус окружности равен \(2d\). Таким образом, геометрическое место точек \(C\) — это окружность без точек пересечения с прямой \(AB\).
Для решения задачи о геометрическом месте точек \(C\), при котором медиана \(AD\) треугольника \(ABC\) имеет постоянную длину \(d\), необходимо рассмотреть геометрические и алгебраические аспекты задачи с максимальной детализацией. Давайте начнем с того, что в треугольнике \(ABC\) медиана \(AD\) соединяет вершину \(A\) с серединой стороны \(BC\), которая обозначена как точка \(D\). Наша цель — определить все возможные положения точки \(C\), при которых длина отрезка \(AD\) остается неизменной и равной заданному значению \(d\). Это означает, что мы ищем множество точек \(C\), для которых расстояние от \(A\) до середины отрезка \(BC\) всегда одинаково. Чтобы подойти к этому систематически, представим точки \(A\), \(B\) и \(C\) в координатной плоскости, где точка \(A\) имеет координаты \((x_A, y_A)\), точка \(B\) — \((x_B, y_B)\), а точка \(C\) — \((x_C, y_C)\). Тогда координаты точки \(D\), как середины отрезка \(BC\), будут равны \(\left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right)\). Длина медианы \(AD\) вычисляется по формуле расстояния между точками \(A\) и \(D\), то есть как \(\sqrt{\left(x_A — \frac{x_B + x_C}{2}\right)^2 + \left(y_A — \frac{y_B + y_C}{2}\right)^2}\), и по условию задачи это расстояние должно равняться \(d\). Таким образом, мы получаем уравнение \(\sqrt{\left(x_A — \frac{x_B + x_C}{2}\right)^2 + \left(y_A — \frac{y_B + y_C}{2}\right)^2} = d\), которое необходимо преобразовать для определения геометрического места точек \(C\).
Теперь давайте преобразуем это уравнение, чтобы понять, какой геометрической фигуре оно соответствует. Возведем обе части уравнения в квадрат для избавления от корня, что дает нам \(\left(x_A — \frac{x_B + x_C}{2}\right)^2 + \left(y_A — \frac{y_B + y_C}{2}\right)^2 = d^2\). Раскроем скобки в этом выражении, чтобы упростить его. Выражение \(\left(x_A — \frac{x_B + x_C}{2}\right)\) можно записать как \(\frac{2x_A — x_B — x_C}{2}\), а аналогично для координаты \(y\) получится \(\frac{2y_A — y_B — y_C}{2}\). Тогда, возведя эти выражения в квадрат, мы получим \(\left(\frac{2x_A — x_B — x_C}{2}\right)^2 = \frac{(2x_A — x_B — x_C)^2}{4}\) и \(\left(\frac{2y_A — y_B — y_C}{2}\right)^2 = \frac{(2y_A — y_B — y_C)^2}{4}\). Подставляя это в уравнение, умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателя, и получим \((2x_A — x_B — x_C)^2 + (2y_A — y_B — y_C)^2 = 4d^2\). Это уравнение можно интерпретировать как уравнение окружности, если рассмотреть его в терминах координат точки \(C\). Перегруппируем члены так, чтобы выделить \(x_C\) и \(y_C\): \((x_C — (2x_A — x_B))^2 + (y_C — (2y_A — y_B))^2 = 4d^2\). Здесь видно, что центр окружности находится в точке с координатами \((2x_A — x_B, 2y_A — y_B)\), а радиус равен \(2d\). Эта точка центра, обозначенная как \(B_1\), имеет особое свойство: точка \(A\) является серединой отрезка \(BB_1\), поскольку координаты \(B_1\) получаются удвоением координат \(A\) и вычитанием координат \(B\), что геометрически означает симметрию относительно точки \(A\). Таким образом, точка \(C\) должна лежать на окружности с центром в \(B_1\) и радиусом \(2d\), чтобы длина медианы оставалась постоянной.
Однако важно отметить, что точка \(C\) не может лежать на прямой \(AB\), так как в этом случае треугольник \(ABC\) вырождается в отрезок, и медиана теряет смысл в контексте треугольника. Поэтому геометрическое место точек \(C\) представляет собой окружность с центром в точке \(B_1\), радиусом \(2d\), но без точек, лежащих на прямой \(AB\), то есть исключая точки пересечения окружности с этой прямой. Рассмотрим также, почему радиус именно \(2d\): это связано с тем, что в процессе преобразования уравнения мы умножили исходное расстояние на коэффициент, связанный с масштабированием координат. Геометрически это можно объяснить тем, что длина медианы \(AD\), равная \(d\), проецируется на радиус окружности через удвоение из-за свойств середины отрезка и симметрии относительно точки \(A\). Кроме того, если представить себе перемещение точки \(C\) по этой окружности, то точка \(D\) (середина \(BC\)) будет двигаться таким образом, что расстояние от \(A\) до \(D\) всегда остается фиксированным, что и подтверждает наше решение. Итак, геометрическое место точек \(C\) — это окружность с указанными параметрами, за исключением точек на прямой \(AB\), что полностью соответствует условию задачи и обеспечивает постоянство длины медианы \(AD\).
