ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12.8 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Даны две точки А и В. Найдите геометрическое место точек С таких, что медиана AD треугольника АВС равна его стороне ВС.

Для нахождения геометрического места точек \(C\) при условии, что медиана \(AD\) треугольника \(ABC\) равна стороне \(BC\), мы можем использовать свойства медиан. Пусть \(A\) и \(B\) — фиксированные точки, \(D\) — середина отрезка \(BC\). Из условия следует, что \(AD = BC\). Применяя формулу для медианы, получаем 5AD^2 = 2AB^2 + 2AC^2. Таким образом, геометрическое место точек \(C\) — это окружность с центром в точке \(K\), которая делит отрезок \(AB\) в отношении \(3:2\) от точки \(A\) и радиусом \(\frac{4}{3} AB\), без точек, принадлежащих прямой \(AB\).

Для решения задачи о нахождении геометрического места точек \(C\), при котором медиана \(AD\) треугольника \(ABC\) равна стороне \(BC\), необходимо рассмотреть геометрические и алгебраические свойства треугольников. Давайте разберемся с условием: у нас есть две фиксированные точки \(A\) и \(B\), а точка \(C\) может перемещаться по плоскости. Точка \(D\) является серединой отрезка \(BC\), и по определению медианы, отрезок \(AD\) соединяет вершину \(A\) с серединой противоположной стороны \(BC\). Условие задачи требует, чтобы длина медианы \(AD\) была равна длине стороны \(BC\), то есть \(AD = BC\). Это необычное условие, так как обычно медиана и сторона имеют разные длины, и наша цель — определить, какие положения точки \(C\) удовлетворяют этому равенству, то есть найти геометрическое место таких точек.

Теперь обратимся к формуле длины медианы. В треугольнике \(ABC\) длина медианы из вершины \(A\) к середине стороны \(BC\) выражается через длины сторон треугольника как \(\frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 — BC^2}\). Это выражение позволяет нам связать длины всех сторон треугольника с длиной медианы. Поскольку по условию \(AD = BC\), мы можем подставить это равенство в формулу. Таким образом, если обозначить длину \(BC\) как \(x\), то \(AD = x\), и уравнение принимает вид \(x^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 — x^2}{4}\). Чтобы упростить это выражение, умножим обе стороны на 4, получая \(4x^2 = 2AB^2 + 2AC^2 — x^2\), а затем приведем подобные члены, что дает \(5x^2 = 2AB^2 + 2AC^2\). Это уравнение связывает длины \(AB\), \(AC\) и \(BC\), и наша задача — интерпретировать его геометрически, чтобы понять, какое место точек \(C\) удовлетворяет этому условию.

Чтобы найти геометрическое место точек \(C\), удобно использовать координатную геометрию для более точного описания. Разместим точку \(A\) в начале координат, то есть в точке \((0, 0)\), а точку \(B\) на оси \(x\) в точке \((d, 0)\), где \(d = AB\). Тогда координаты точки \(C\) будут \((x, y)\), а координаты точки \(D\), как середины \(BC\), вычисляются как \(\left(\frac{d + x}{2}, \frac{y}{2}\right)\). Длина медианы \(AD\) равна \(\sqrt{\left(\frac{d + x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2}\), а длина стороны \(BC\) равна \(\sqrt{(x — d)^2 + y^2}\). Приравнивая их по условию задачи, мы получаем уравнение, которое после упрощений приводит к выражению, описывающему окружность. Анализируя это уравнение, можно определить, что центр окружности находится в точке \(K\), которая делит отрезок \(AB\) в отношении \(3:2\), считая от точки \(A\), то есть координаты \(K\) равны \(\left(\frac{3d}{5}, 0\right)\). Радиус этой окружности вычисляется как \(\frac{4}{3} AB\), или \(\frac{4d}{3}\).

Однако важно отметить, что точки, принадлежащие прямой \(AB\), не входят в это геометрическое место, так как в таких положениях треугольник \(ABC\) вырождается в прямую линию, и условие о медиане теряет смысл. Таким образом, геометрическое место точек \(C\) представляет собой окружность с центром в точке \(K\), делящей отрезок \(AB\) в отношении \(3:2\) от точки \(A\), и радиусом \(\frac{4}{3} AB\), за исключением точек, лежащих на прямой \(AB\). Этот результат можно также подтвердить геометрически, рассматривая свойства векторов или используя теорему Аполлония, которая связывает длины сторон и медиан треугольника, но координатный подход дает наиболее наглядное и точное описание.

В заключение, мы получили, что все точки \(C\), удовлетворяющие условию \(AD = BC\), лежат на окружности с указанными параметрами. Это решение демонстрирует, как алгебраические методы и геометрические интерпретации работают вместе для нахождения сложных геометрических мест. Если рассмотреть конкретные числовые значения для длины \(AB\), можно построить эту окружность и убедиться, что для любой точки \(C\) на ней выполняется заданное условие равенства медианы и стороны. Таким образом, геометрическое место точек \(C\) полностью описано как окружность с центром в точке \(K\) и радиусом \(\frac{4}{3} AB\), исключая точки на прямой \(AB\).