ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 13.13 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если четырёхугольник ABCD параллелограмм, то \(AB = DC\).

Если четырёхугольник \(ABCD\) является параллелограммом, то по определению у него противоположные стороны попарно параллельны, то есть \(AB \parallel DC\) и \(AD \parallel BC\).

Проведём диагональ \(AC\). Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(CDA\). В этих треугольниках угол \(BAC\) равен углу \(DCA\), так как это накрест лежащие углы при параллельных прямых \(AB\) и \(DC\) и секущей \(AC\). Аналогично, угол \(BCA\) равен углу \(DAC\), так как это накрест лежащие углы при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AC\).

Сторона \(AC\) общая для обоих треугольников. Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (\(2\) угла и сторона между ними) треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, значит \(AB = DC\).

Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\). Мы хотим доказать, что его противоположные стороны равны, то есть \(AB = DC\) и \(AD = BC\).

1. По определению параллелограмма, у него есть две пары противоположных сторон, которые параллельны. То есть, \(AB \parallel DC\) и \(AD \parallel BC\). Это свойство является основным для всех параллелограммов и будет использовано в дальнейшем.

2. Проведём диагональ \(AC\). Теперь у нас есть два треугольника: \(ABC\) и \(CDA\). Мы будем работать с этими треугольниками, чтобы показать их равенство.

3. Рассмотрим углы треугольников. Угол \(BAC\) равен углу \(DCA\) по причине того, что это накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых \(AB\) и \(DC\) секущей \(AC\). Аналогично, угол \(BCA\) равен углу \(DAC\) по той же причине, так как это также накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых \(AD\) и \(BC\).

4. Теперь мы имеем два равных угла в каждом из треугольников. Кроме того, сторона \(AC\) является общей для обоих треугольников \(ABC\) и \(CDA\). Таким образом, мы можем применить первый признак равенства треугольников, который гласит, что если в двух треугольниках два угла и сторона между ними равны, то треугольники равны.

5. Следовательно, поскольку треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны, их соответствующие стороны также равны. Это означает, что \(AB = DC\) и \(AD = BC\). Таким образом, мы завершили доказательство, что в параллелограмме противоположные стороны равны.